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Ce qui précède conduit à la règle suivante ;
Soient « et 6>>a deux nombres qui comprennent une seule racine x, de l'équation f(x) = o et qui ne comprennent aucune racine des équations f'(x) =0, f(x) = 0; 2M un nombre qui ait le signe du rapport fie)
7! et dont le module soit égal ou supérieur au plus
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grand des modules que prend le méme rapport quand x varie entre a et 6. Sil'on désigne par a celle des deux limites à, 6 pour laquelle les fonctions f(x), f(x) sont de méme signe, et par b celle pour laquelle les mémes fonctions sont de signes contraires, On aura Ces nouvelles limites de la racine xs,
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dont la première est précisément celle dé Newton. St la
dj —= 4 —
fonction f"(x) varie dans le méme sens, entre les limites a et b, auquel cas f"(x) conserve le méme signe, on pourra former le nombre M en divisant celle des
deux quantites = f"{a), = S"(b) qui a la plus grande valeur absolue, par celle des deux f'{a), f'(b) qui a
la plus petite valeur absolue.
Le nombre M étant calculé comme nous venons de l’indiquer, il est nécessaire, pour notre objet, que la valeur absolue du produit M(a— 8 }’soit inférieure à l'unité; si le contraire avait heu, 1l serait indispensable de resserrer les limites de la racine, avant d’appliquer la méthode. Supposons que la valeur absolue de M soit comprise
I J ! qu | entre —— et — > À étant un entier positif, nul ou néga- Fort 14
J I È Fee AE bat au üuf, et que x SOI la différence des limites primitives « ï ;
et 6 ou a et b. Au moyen de ces limites a et D on caleculera, comme on vient de le dire, les nouvelles limites &;, b,, puis de celles-c1 on en conclura deux autres &, D, et ainsi de suite; si l’on pose généralement
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en sorte que €, représente la valeur absolue de la diffé-
rence des limites a,, b,, on aura
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Le PE PRET RE ce 107 6] Lo22+#? LEE PATTES formules qui mettent en évidence la loi des approximations successives.
