Exemrze. — Considérons l'équation X— 2x

qui a une racine positive unique, et proposons-nous d’évaluer cette racine. On a ici

on aperçoit de suite que f(x) est négative pour x = 2 et qu’elle est positive pour x = 2,1; d’ailleurs f/{x) est positive. Nous ferons, conformément à notre règle,

(perle NA NT 1 es

: Cr a ae latfonction est constamment décrois-

210) 7 3x2— 0 sante et elle est égale à 0,6 pour x — 2; on peut donc poser M — 0,6. Les nouvelles limites ont pour valeurs

> D—4a; — 0,006 11,23 AUTES

et l’on peut prendre

On a ensuite 0,005007399 11,107075

et l’on peut faire, en arrêtant le calcul à la cinquième

décimale, a = 2,09496.

Appliquons une dernière fois la méthode de Newton; on aura | D S6 — 0,00011 50686 90816

en faisant la division indiquée, on pourra compter sur les neuf premières décimales, et l’on aura pour la racine demandée

Lo = 2, 09455 1481

à une unité près du neuvième ordre décimal, par défaut.

Méthode d'approximation de Lagrange.

164. La méthode de Lagrange a pour objet le développement des racines en fraction continue.

Soit l’équation

( I ) TRIAS x HA, LU y A, ar 2 + Dot A» T+Am»—0,

et supposons qu'on ait constaté l'existence d’une ou de plusieurs racines positives comprises entre les entiers consécutifs a et a + 1; le cas des racines négatives se ramènera à celui des racines positives, en changeant x en — x dans l’équation proposée. On fera, conformément à ce qui a été dit au n°1,