TA) T
et l’on obtiendra la transformée en x:
/ ) (1) ,,m— ) (2) ESS x + A; 21 LEEn. PHRASE EI AM;
cette transformée aura autant de racines positives supérieures à 1 que la proposée a de racines entre a eta +1; considérons l’une d’elles et supposons qu’elle soit comprise entre les entiers consécutifs a, eta; +1, on posera
MIE MT EE, Lo
et l’on aura la nouvelle transformée
) (2) met (2) (3) (3) HEURE AL x) +A, ca +. HA, 14H FE
laquelle aura autant de racines positives supérieures à I
que la proposée a de racines comprises entre a + — et “A
(241 + I tions et chacune des racines dela proposée qui sont comprises entre a et a+ 1 se trouvera exprimée par une
D «On peut poursuivre indéfiniment ces opéra-
fraction continue
dont les réduites -1,-—2,... fourmiront des valeurs de
plus en plus appprochées.
Quant aux transformées successives (2), (3), etc., chacune d'elles se déduit de la précédente par une règle uniforme ; on a effectivement
Lo+1 I I Fr (a) al nl CL V2 RER 5 «a +, . DANS x Je st Lyu+1 Ja w) | Fan, Re:
et la transformée en x,,, sera
m m—1 fai à fé (ay) Er DATENT eee iQ ainsi l’on aura 1 mr eu) (u1) __ Je (au) ST EURE ne pe, a Le), ao EL
Remarquons enfin qu'on peut toujours faire en sorte, si on le juge à propos, que l’équation proposée n’ait qu’une seule racine comprise entre deux entiers consécutifs ; car il suffira, pour atteindre ce but, de multiplier toutes les racines de cette équation par un nombre convenablement choisi; alors chacune des transformées (2), (3), ... n'aura qu'une seule racine positive et supérieure à rt.
165. La méthode précédente serait d’une longueur rebutante dans la plupart des cas, si, en la proposant, Lagrange n’avait indiqué un procédé très-simple qui permet de déterminer sans tâtonnement la suite des quotients &, &;, 4», .…, lorsque quelques-uns des premiers termes sont connus, Voici en quoi consiste ce procédé.
M le : k :
SOA (nr + 1) réduite de la fraction continue
Qz
formée avec les quotients a, as, .… (n° 2); la racine x dont cette fraction est le développement aura pour valeur
Lots + pe (1) nrrrp Een Qrer LE Qi on tire de là Fe Qh= ASS bre t 2: er Q T
ou, à cause de
RFO 0227 (—1}?, Gr made Q» Qu(Pn — Qu)
S. — Alg. sup., L 93
ln
Si l’on remplace x par chacune des racines x, x’, x”, .… de la proposée, il est évident que la formule précédente donneralesracinescorrespondantesx,,x,,2,,.… transformée en x,:; on aura donc aussi
RTE Q»-1 (ES .
| Q; Qu(Pr—Q,x) æ" 0 PE = (—1}"
L Qz Qx (P, — Q» HE) N
D DTOLe 0 010 906,080, 0 RLSLO 2 0n0 Late») ne079
et, en ajoutant ces dernières égalités, il viendra 07 2 (—1)"
Q; Qu(Pr — Q,x') ut (NE D CS TD OS Q:(Pr—Qnz”) Qh(Pr — Qu )
Mais, dans la transformée en x,, savoir
(art ar +. .)+(m—1)
+ Ce RE
(n) m (n) m—1 ‘+ À, t,rA ri He,
| An) la somme des racines est — NOË on peut donc remplacer
/ " Af°) d l’évalité £céd 1 bo Po 4 A LAN CRRETTTT ans 1 Ega 1té précé ente,
et si l’on faiten outre, pour abréger,
il viendra Q>1 Afn) (— 1) A.
2 D NTI —— RE ( ) nm ( ) Q, Ar) Q: ?
enfin si l’on pose Qu A
AS Qx AU
(3) ën— (m—1)
CS QT ©Q"
SECTIONS CAC PIRE MVILTS
on aura (—1)"—1 A Ln — En UE RAS O0 Lo os
Là 4 bg pe À ’ L P Par conséquent, dès qu’on sera arrivé à une réduite — . nm telle, que l’on ait
(4) 0: > VÉP TA l'erreur commise en prenant (5) Tn — ÊA
< J = sera moindre que en valeur absolue, et s1 À a une va-
leur suffisamment grande, on connaîtra directement, par la formule (3), le quotient entier a, contenu dans x,. Cela suppose que À est connue; maisilest évident qu’une valeur médiocrement approchée de cette quantité suffit
: pra P :
pour notre objet. Or les réduites 0. s’approchent rapirm
dement de x, et A diffère d’autant de moins de la quantité
L I I ++ DT san pepaneer Le
Er fo TX
que » est plus grand; on a d’ailleurs (n° 49)
f'(X) RE NN Ne le R de FX) sr NE + LS QE 7 Ne NS 2
et, pour X=—x+, le premier membre de cette formule se réduit, à cause de f(x) = 0, à
LE ya. # m4 (x) His
k ‘ ‘ . (de expression qui tend vers la limite Le quand! } tend
vers zéro. On a donc fe M 7 TT ah (x)
et à la condition (4) on pourra substituer la suivante:
