COURS

L’Algèbre est à proprement parler, l'Analyse des équations ; les diverses théories partielles qu’elle comprend se rattachent toutes, plus ou moins, à cet objet principal. À ce point de vue, l’Algèbre peut se diviser en trois Parties bien distinctes :

1° La théorie générale des équations, c’est-à-dire l’ensemble des propriétés qui sont communes à toutes les équations ;

2° La résolution des équations numériques, c'està-dire la détermination des valeurs exactes ou approchées des racines d’une équation dont les coefficients sont donnés en nombres :

3° La résolution algébrique des équations, c'està-dire la détermination d’une expression composée avec les coefficients d’une équation donnée, et qui, substituée à l’inconnue, satisfasse identiquement à cette équation, soit que les coefficients de l’équation proposée soient numériquement donnés, soit que, étant simplement considérés comme connus, ils restent indéterminés et représentés par des lettres.

Sans prétendre faire ici l’histoire complète de l’AlIgèbre, je crois devoir, dès à présent, donner un aperçu des principaux résultats acquis à cette partie de la science que nous allons étudier.

S.— Alg, sup., 1. ra x

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Il serait difficile de dire à qui nous devons la résolution des équations du second degré: elle se trouve dans le livre de Diophante, et, comme le fait remarquer Lagrange dans son 7raite de la résolution des équations numériques, elle ressort naturellement de quelques propositions d'Euclide. Luc Paciolo, qui publia en 1494, à Venise, le premier livre d’Algèbre paru en Europe, ne fait aucune mention de Diophante et laisse supposer que les algébristes italiens avaient appris des Arabes ce qu'ils savaient d’Algèbre, c’est-à-dire la résolution des équaions du premier et du deuxième degré.

La résolution des équations du troisième degré est due à deux géomètres italiens du xvi° siècle, Scipion Ferre et Tartaglia ; mais on ignore par quel chemin ils y ont été conduits, et la formule qui représente les trois racines de l'équation du troisième degré est communément appelée formule de Cardan.

C’est aussi à un géomètre italien, Louis Ferrari, disciple de Cardan, que l’on doit la résolution de l’équation du quatrième degré. Depuis, plusieurs méthodes que nous indiquerons successivement ont été proposées pour la résolution des équations du troisième et du quatrième degré ; mais Lagrange a montré, dans un célèbre Mémoire inséré parmi ceux de l’Académie de Berlin pour 1770 et 1971, que ces méthodes, différentes en apparence, reviennent toutes, au fond, à faire dépendre la résolution de l’équation proposée de celle d’une seconde équation qu'il appelle résolvante, et dont la racine est composée linéairement avec celles de la proposée et les puissances d’une racine de l’unité du même degré. En cherchant à généraliser cette méthode, à l’étendre à toutes les équations, ce grand géomètre a montré qu’au delà du quatrième degré l'équation résolvante était d’un degré supérieur à celui de la proposée, et ne paraissait

pas, en général, susceptible d’abaissement. Il à enfin expliqué clairement, par cette analyse, à quelle circonstance est due la résolubilité des équations des quatre premiers degrés, circonstance qui ne se présente plus au delà du quatrième degré.

Toutefois, la méthode de Lagrange peut être employée utilement dans la résolution des équations binômes ou, ce qui revient au même, des équations dont dépend la division de la circonférence du cercle en parties égales. La résolution de ces équations avait été effectuée antérieurement et pour la première fois par Gauss, à l’aide d’une méthode ingénieuse fondée sur les relations qui existent entre les diverses racines de l’équation binôme, et sur la considération des racines primitives des nombres premiers.

Abel, généralisant les résultats obtenus par Gauss, a montré ensuite que, si deux racines d’une équation irréductible sont tellement liées entre elles, que l’une puisse s'exprimer rationnellement par l’autre, l'équation est soluble par radicaux si son degré est un nombre premier, et que, dans le cas contraire, sa résolution dépend de celle d'équations de degrés moindres que le sien. C’est là un des plus beaux résultats dont l’Algèbre se soit enrichie de nos jours. Abel a fait, dans son Mémoire, l’application de sa méthode aux équations binômes, et a apporté quelques simplifications à l’analyse de Gauss.

Voilà donc une classe assez étendue d'équations dont les racines peuvent être exprimées par des radicaux ; mais ces équations, étudiées par Abel, sont-elles les seules qui possèdent cette propriété ? Dans quel cas, en un mot une équation peut-elle être résolue algébriquement ? Cette question difficile a été résolue complétement, au moins pour les équations irréductibles de degré premier par Évariste Galois, ancien élève de l’École Normale, et l’un

des géomètresles plus profonds que la France ait produits. Dans un Mémoire présenté à l’Académie des Sciences en 1831, et publié en 1846 par les soins de Liouville, Galois a, en effet, démontré ce beau théorème: Pour qu'une équationirréductible de degrépremier soit soluble par radicaux, il faut et il suffit que, deux quelconques des racines étant donnees, les autres s’en déduisent rationnellement. Ce résultat important a été le point de départ des recherches auxquelles se sont livrés depuis sur cette matière, MM. Hermite, Kronecker, Betti et plusieurs autres géomètres éminents.

Enfin, quant aux équations dont les racines sont des quantités quelconques n’ayant entre elles aucune dépendance, c’est-à-dire dont les coefficients restent indéterminés, leur résolution générale est impossible au delà du quatrième degré. Cette proposition importante, énoncée par Ruffini, a été mise hors de doute par les travaux plus récents d’Abel.

Tels sont les travaux les plus importants qui aient été entrepris sur la résolution algébrique des équations, et dont j'ai cru devoir faire 1c1 l'indication succincte.

Quoique j'aiesurtouten vue, dans cet Ouvrage, lesthéories qui se rapportent à la résolution algébrique des équations, je n'en crois pas moins utile de reproduire 1c1 les principes qui sont le fondement de la théorie générale des équations et sur lesquels reposent les méthodes employées pour leur résolution numérique.

SECTION PREMIERE