THÉORIE DES FONCTIONS SYMÉTRIQUES
Des fonctions symétriques.
470. Lorsqu'une fonction de plusieurs quantités ne J q change pas quand on échange entre elles, de toutes les manières possibles, les quantités qu’elle renferme, cette fonction est dite symétrique. Nous ne nous occuperons ici que des fonctions symétriques rationnelles. es coefficients d’une équation algébrique son
L ffi tot. quat Igébrique sont des fonctions symétriques des racines de cette équation; ce sont même les fonctions symétriques les plus simples, en ce sens que chaque racine n’y figure qu’au premier degré. S'il s’agit, en effet, de l'équation
x PIT or Ge du rm Hs Pm1T + Pm — O0,
et que a, b,c;,..., k, | désignent les rm racines, on sait que l’on a | a+b+C+H. HA +HI — p;,
ab+ac+...+ Al = p;,
Nous Allbre montrer comment on peut. trouver l’ex- P
pression d’une fonction symétrique et rationnelle quelconque des racines d’une équation, et cette recherche nous conduira à ce théorème important :
Toute fonction rationnelle et symétrique des racines d’une équätion peut s'exprimer rationnellement par les coefficients de cette équation.
Examinons d’abord à quoi peut se réduire la recherche de la fonction rationnelle etsymétrique la plus générale. Toute fonction rationnelle non entière est le quotient de deux fonctions entières, en sorte qu’il n’y a lieu de s’occuper que des fonctions symétriques entières. En outre, toute fonction symétrique entière non homogène est la somme de plusieurs fonctions symétriques homogènes; tout est donc ramené à établir des règles pour calculer les fonctions symétriques rationnelles entières et homogènes; enfin, une pareille fonction symétrique entière el homogène peut contenir des termes où les exposants des lettres, tout en ayant la même somme, ne soient pas égaux chacun à chacun : dans ce cas, la fonction est la somme de deux ou d’un plus grand nombre de fonctions symétriques de même degré, mais différentes, et que nous calculerons séparément. De tout cela il résulte que nous pouvons nous borner à considérer les fonctions symétriques rationnelles, entières et homogènes, telles que les exposantsdeslettres soient les mêmes dans deux termes quelconques; toute fonction de cette espèce sera définie si l’on donne un seul de ses termes, ainsi que toutes les lettres qui entrent dans sa composition. Cela posé, nous appellerons fonction symétrique simple ou du premier ordre une fonction symétrique rationnelle, entière et homogène, dont chaque terme ne contient qu'une seule lettre; fonction symétrique double ou du deuxième ordre celle dont chaque terme renferme
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deux lettres, et ainsi de suite. Les fonctions symétriques simples de plusieurs quantités ne sontautre chose, comme on le voit, que les sommes des puissances semblables de ces quantités.
Formules de Newton pour le calcul des sommes de puissances semblables des racines d'une équation.
171. Soit l'équation LUE pr MI par PL, Pr + Pm—=O; que nous représenterons aussi, pour abréger, par D, rte et dont nous désignerons par a, b, c,...,k, [les m ra-
cines. Soit, en outre, X’ la dérivée de la fonction X;on aura
X'=mattt{(m—i) part + + 2pn or + Pm-4 On a aussi, par un théorème connu (n° 49),
ND Up mire
DU
et l’on trouve, par la division,
x = 2-1 La an? Lo? xm—8 La D TÉR CR EEE Qre 5 come W 4 / + Pi +P1a +pid + pa Pa +pea pa + Pa ATEN + D m—24 + Pm—1° |
Si, dans cette dernière équation, on remplace a successivement par chacune des autres racines, et qu’on fasse généralement
Sn=at+bt+ ot +,, + AT HU,
on aura, en ajoutant tous les résultats, la valeur suivante de X’
= pli 1 — — X=mr "Ts, [ets | ere TRE
+ MP: 717 Pas: + Pise + P18m—2 mr MP: a P2si GE PaSm—3 + mp3 mm RU OÙ
+ Pm—2$1
+ MP m1
La comparaison de cette valeur de X’ avec celle écrite plus haut fournit les relations suivantes :
ST P1 = 0, S2 + Pi: Si + 2 Pa —=10; (1) S3 + P1$2+ PeSi + OP: 0,
V Sm—1t P1Sm—e Poe Sms test Pme Si + (m—1)pr1 — 0.
La première de ces formules fait connaître s, ou la somme des racines, la deuxième fait connaître s, ou la somme des carrés des racines, et ainsi de suite, jusqu'à la dernière qui fait connaître s»,. On trouve de cette manière |
Sÿ—— Pi
S2—= Pi — 2Pa
$3—=—Pi + BP1P:— 3P35
S, Pi — 4 Pi Pit 4 PiPs+ 2P3 —4Pss
88 —=— Pi +SpPiPa—9PiPs—9(P3— pb) Pi +5 (P2P3— Ps)
eee + 9 Rv ere Te 9 © 9,0 010 ‘5 010616 019 e/ 0,616, 8 REA 7 se PORN ORNE
Voicimaintenantcomment on peutobtenir les sommes de puissances semblables, dont le degré surpasse m—1, et celles dont le degré est négatif. Soit z un nombre ener positif nul ou négatif, et multiplions l'équation pro-
Le
SECTION II. — CHAPITRE Ie 379 posée par x”; elle deviendra Co so RE Et FR Hs ip + parie, Ep, ati bp,, xt = 0,
Remplaçons successivement x par chacune des racines a, b, c,..., et ajoutons tous les résultats ; on aura
Sm+n + P1Sm+n—1 + P25m+n-2t + + HF Pm-1Sn+1 + PmSn — 0.
£n donnant à n les valeurs o, 1, 2, ..., et observant que $, = m, on obtient les relations suivantes :
Sm HPiSm1 FP28m-2 + +: HPm181 + Mm = 0, (2) Sm+1 FT P1Sm + Pa Sm—1 + AAELE + Pn—182 + Pm Si — O, Sm+2 + P1Sm#1 FF P2Sm Hess +Pm183 +PmS2 — 0
Les sommes 54,59, «++, $m 1 étant connues par les formules (1), la première des formules (2) déterminera s», la deuxième 5,41, et ainsi de suite.
Ilimporte de remarquer que les valeurs des sommess;, So, .… ne contiennent dans leur expression aucun dénominateur, et que siles coefficients p,, pe, .. sont des nombres entiers, les sommes 5,, 5:, ... sont aussi des nombres entiers.
Réciproquement, si l’on connaît m sommes de puissances semblables, par exemple 5,, 5, ...,5», On pourra déterminer les coefficients p1, ps, ... à l’aide des formules (r)et(2), qui ont été données, pour la première fois, par Newton.
Pour calculer les sommes de puissances semblables des racines à exposants négatifs, il suffit de donner au nombre 7, que nous avons introduit, les valeurs succes- Sives —1, —2, —3,...; mais, à l'égard de ces sommes de puissances négatives, le moyen le plus aisé de les trouver consiste à changer x en : dans l’équation pro-
posée, et à calculer ensuite les sommes de puissances
semblables à exposants positifs des racines de l'équation transformée.
On peut remarquer qu’en appliquant les formules (1) et (2) au cas de l’équation binôme x”—1—0o, on retrouve immédiatement les résultats que nous avons obtenus au n° 106 par une voie différente.
Usage de la division algébrique pour le méme objet.
172. On peut emplover, pour calculer les sommes des puissances semblables des racines d’une équation, une autre méthode qui n’exige qu’une simple division algébrique. Soit toujours
Ds) une équation ayant pour racines a, b,c,..., k, L. Si X’ représente la dérivée de X, on a, comme précédemment, X I I a — + + ..… +
PA à rh FRE |
La fonction est développable en une série con-
vergente ordonnée suivant les puissances négatives et décroissantes de x, pour toutes les valeurs de x dont le module est supérieur au module de a; on trouve, par la division,
[| «a à on ie QE ÉTÉ SU T— a … T na
donc, en remplaçant successivement & par chacune des autres racines, et ajoutant ensemble tous les résultats, on aura
XIV TE S So
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