LA TL

Pour le calcul numérique, il sera plus commode d’é-

viter les exposants négatifs : on changera alors x en —:

UE PA Z ; et la fraction — prendra la forme PE Z, et Z étant des

fonctions entières de z; on aura

7 = MH 8 + 532 +...

et l’on obtiendra toutes les sommes s,, 52, ..., par la division des polynômes Z, et Z que l’on ordonnera suivant les puissances croissantes de z.

On peut trouver de la même manière les sommes s;, S», ..…, des puissances semblables à exposants néga-

ufs. Effectivement, la fonction -

SRE en série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de x, pour toutes les valeurs de x dont le module est inférieur au module a, et l’on trouve, par la

division,

est développable

— — Los | mn —- a + Use ; TX — «a «a a donc, en remplaçant successivement a par chacune des ) plac P autres racines et en ajoutant les résultats, on aura !

AR SMS MAS rt X x a —1 —9 —3 ...e

On obtiendra donc les sommes $,, 5», ..., en ordonnant les polynômes NME /N suIvVint les puissances croissantes de x et en effectuant ensuite la division du premier polynôme par le second.

Le principal avantage de cette seconde méthode, fondée sur la division algébrique, consiste en ce que l'on peut

3892 COURS D’ALGEBRE SUPÉRIEURE.

en déduire facilement, comme on le verra plus loin, l'expression générale de s, ou de s, en fonction des coefficients de l'équation proposée. Les formules de Newton ne conduiraient que péniblement au même résultat.

Determination des fonctions symétriques doubles, triples, etc., des racines d’une équation.

173. Les formules établies au n° 171 permettent de calculer successivement les fonctions symétriques doubles, triples, etc., des racines d’une équation.

Soient a, b, c, ..., k, [les m racines d’une équation

KN==n

de degré m, et considérons une fonction symétrique double, dont un terme soit a*bf; la fonction dont il s’agit étant déterminée quand on en connaît un terme, nous

la représenterons, pour abréger, par Ÿ a*b$, et nous

continuerons de désigner par s, la somme des puissances aièmes de toutes les racines.

Cela posé, si l’on multiplie entre elles les deux sommes 5, et 5, on obtiendra un produit qui sera évidem-

ment la somme des deux quantités 5,,6 et DELE on

a donc (1) Ÿ DE su5g — aus

On voit que toute fonction double Ÿ a“ b$ est expri-

mable, sous forme rationnelle et entière, par les coefficients de l’équation proposée, puisque 5, se et s,,6 le sont, en outre, si les coefficients de l’équation sont des

nombres entiers, D a* b$ sera aussi un nombre enter.

PS

La formule (1) n’a plus lieu quand 6 == ; on voit, en effet, que si 6 devient égal à x, les termes de » a* b° seront égaux deux à deux, en sorte que cette quantité

se réduira à 2 ÿ a* b®; on a donc

(2) Vaste (su) — sel.

En remplaçant s, et s ar leurs valeurs, on ob- P Fi 24 P Fr!

endra une expression de Ÿ a*b* qui ne contiendra plus

le dénominateur 2. Cette proposition n’est pas évidente; mais nous ne nous arrêterons pas ici à l’établir, parce qu’elle résultera, comme on le verra plus bas, des méthodes proposées par Waring et par Cauchy, pour la détermination des fonctions symétriques des racines d’une équation.

Une fonction symétrique triple, qui renferme le terme

a b$ c', pourra être représentée par > a“ b® ci Sr l'on

multiplie la fonction double à a“b$ par s, on trouvera pour produit

Ya brer + V arrib6 + Ÿ avt,

on à donc Ÿ sb ct ty AN abs Ÿ an ES Ÿ b5+1, pis A)

Cette formule fait connaître la fonction triple Ÿ a b$ct,

car le second membre ne contient que des fonctions doubles que l’on sait calculer. Si l’on veut avoir l'expression

de la fonction triple, au moyen des sommes de puissances semblables, il suffira de remplacer les fonctions doubles par leurs valeurs connues; on trouvera ainsi

(3) ) a be S4 568, — Sar6Sy — Saty$6 — Sert Sa rt 2Sa et"

et l’on voit que les fonctions triples s’exprimeront comme lés fonctions simples et doubles, sous forme rationnelle et entière, par les coefficients de l'équation proposée. La formule (3) ne subsiste pas, si deux des exposants ou tous les trois deviennent égaux entre eux; mais on peuten déduire aisément les valeurs des deux fonctions

Ÿ a*b®c et Ya DEEE On voit, en effet, que si 6 devient égal à ©, D a b$ c*

se réduit à 2 a*b® ct et à 2.3 a b®c*, si en même

temps y devient égal à «; on a donc

(4) Ÿ arbre ï (5857 — S2a 57 — 25e+7$a + 2S9a+x)

et

(5) | Ÿ bc —

En suivant la même marche, on calculera successivement les fonctions du quatrième ordre, puis celles du cinquième, et ainsi de suite. Îl est presque superflu d’ajouter que, quandon aura calculé, en général, l'expression d’une fonction symétrique entière et homogène du pième ordre, siu exposants deviennent égaux entre eux, 1l fau -

(sa — 3520 Sa + 283a)