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dra diviser par 122,3 Lin valeur qu'on aura trouvée.
On voit par là que toute fonction symétrique entière et homogène des racines d’une équation peut s'exprimer rationnellement par les coefficients de cette équation, et que la même chose a lieu, d’après les remarques faites précédemment, pour une fonction rationnelle et symétrique quelconque.
Méthode de Waring pour calculer une fonction symétrique rationnelle et entière des racines d’une équation.
174. Waring a indiqué, dans ses Meditationes algebraicæ (1), une méthode par laquelle on peut former directement l'expression d’une fonction symétrique et entière quelconque des racines d’une équation en fonction des coefficients de cette équation. Nous allons faire connaître 1c1 cette méthode, qui, dans un très-grand nombre de circonstances, devra être préférée à celle que nous venons d'exposer.
Soit l'équation
EC es Pi > dr) + par"? A RER + Pm—1 T + Pon TZ O, dont les m racines sont PCR Ce le
et supposons qu'il s'agisse de trouver la valeur d’une fonction symétrique et entière V de ces racines.
Pour plus de clarté, il convient d'imaginer que l’on ait ordonné la fonction V de la manière que nous allons indiquer. Désignons par 2 l’exposant de la plus haute puissance à laquelle se trouve élevée chaque racine, et, en
(*) Editio tertia, p. 13.
S. — Alg, SUPe3 EL 25
particulier, la racine a dans V ; par 6 l’exposant de la plus haute puissance à laquelle se trouve élevée la racine à dans la partie de V qui contient le facteur a“; par ; l’exposant de la plus haute puissance à laquelle se trouve élevée c dans la partie de V qui renferme le facteur a“ b°; et ainsi de suite, en sorte que À désignera finalement l’exposant de la plus haute puissance de / dans la partie de V qui contient le facteur a*bcT...k*, D'après cela, la foncton V contiendra un terme de la forme
Aa BC PEN
auquel nous assignerons le premier rang; À est une constante donnée; 1l se peut que quelques-uns des exposants
LOT er LR A
soient nuls ; en outre, chacun de ces exposants peut être égal, mais non supérieur au précédent. Je dis, par exemple, qu'on ne peut avoir y=>6; en effet, la fonction symétrique V qui renferme le terme Aa*b$c... 0 contient aussi le terme Aa“*bïcf...k*l, qui se déduit du premier en permutant les lettres b etc; or, si l’on avait y > 6, b° ne serait pas, comme nous l’avons supposé, la plus haute puissance de à contenue dans la partie de V qui renferme le facteur a*; donc on a nécessairement y<T6 ou y— 6. Ce raisonnement s applique ÉVEdemment aux autres exposants.
Le premier terme de la fonction V ayant été fixé comme 1l vient d’être dit, nous appliquerons la même règle à la détermination du rang de chacun des autres Lermes, et nous écrirons
VA ar DCS NES RPE
SECTION II. — CHAPITRE I. 337 Cela posé, on a
(—nn=Y a, (ire a, —1}p;s = Ÿ arc,
.... Da 0e GO CONOrCELONE
(— nt Dr las D abc.
(—1)"p} = abc. ..kl Si l’on élève ces égalités aux puissances À — 6, 6 ED 74 , ... À — Le À
respectivement, qu'on en fasse ensuite le produit et qu'on multiplie enfin de part et d’autre par À, le premier membre de l'égalité résultante sera
pat ++... a—6 Se XX A | 1) F3 Pa : HAIMERTE NA
Nous le représenterons, pour abréger, par P; quant au second membre, ilsera une fonction symétrique des lettres a, b,c,..…,k, L, et, si nous l’ordonnons de la même manière que V, il est évident que son premier terme sera Aa“b®c*'...k* l\; on aura ainsi
P—Aabia,, ARE...
En retranchant la seconde des fonctions symétriques V
et P de la première, on obtient une nouvelle fonction symétrique V,, telle que
S1 l’on opère sur V, comme on a opéré sur V, on obtiendra une troisième fonction symétrique V», telle que
Vi = Pi =V;;
P, désigne une quantité analogue à P, et qui est, comme celle-ci, le produit d’une constante par diverses puissances des coefficients p,, pe, ..., Pme
En poursuivantces opérations, on voit qu'on obtiendra une suite de fonctions symétriques
Vis VER TONNES
telles que VARl — V;, Vies PEN:
Vo — Pr = Vs,
i Vallon is Vans — Pyo — Va Vas — Pyns = Vu;
chacune des quantités P, P,,..., P, est le produit d’une constante par diverses puissances des coefficients p1, Pe;s *-., Pm. En outre, si l’on imagine une fonction entière U formée des premiers termes des fonctions V, V,,..., V, et ordonnée de la même manière que ces fonc- HAS À est évident, d’après le procédé que nous avons suivi, que le premier terme de l'une quelconque des fonctions V,, V:,..., V, occupera, dans Ü, un rang supérieur au rang du premier terme de la fonction précédente. Or le nombre des termes susceptibles d’occuper, dans U, un rang supérieur à celui d’un terme donné est nécessairement limité; donc, dans la recherche des fonctions V,, V:,..., on finira toujours par arriver à une constante, et alors l’opération sera terminée. Supposons, d’après cela, que V, se réduise à une constante; il viendra, en ajoutant les égalités précédentes,
V=P+P + Pt... HP, +,
formule qui fera connaître l'expression de la fonction q P
SECTION Il. — CHAPITRE I. 389
symétrique proposée V en fonction des coefficients p,,
Dm
On peut conclure de là que toute fonction entière et symétrique V des racines d’une équation est exprimable rationnellement par les coefficients de l’équation, proposition que nous avons déjà établie (n° 173); mais on voit, en outre, que si les coefficients de l’équation sont des nombres entiers, ainsi que ceux qui multiplient les différents termes de V, la valeur de cette fonction V sera également un nombre entier.
175. Exewurze I. — ÆZtant donnée l'équation A pa LH perl EH Pm1E + Pm = 0;
dont a, b, c,d,e,f,...,k, l sont les racines, on demande la valeur de la fonction symétrique
Posons, conformément à la théorie précédente, P=p;p2pP; =Y a Ÿ a. Ÿ ave =ÿs b?c + 3 bcd + 5 Ÿ a b? c? + 8Y « b?ed + 22 Ÿ a bcde + 6o Ÿ abedef
V—P=V, —— 3 Ÿ « bcd — 2 b? c? — BY «bei 122 Ÿ « bcde — Go Ÿ abedef:
faisons, en second lieu,
P,=—3pp, =—3 D Ÿ abea + = — 8 Ÿ «bed 6 a b?cd—2 a? bcde — 0 Ÿ aveu SH on aura Vi—P = V, =— 8 Ÿ abc — 2 Ve b?cd + 5 « bcde + 30 > abcdef ; faisons, en troisième lieu, P;=—3p,; ——3 | San | acc = — 3 Ÿ arbres —6Ÿ abred — I SŸ atbede — Go « bcdef,
on aura
Va Es V; — 4Y « b? cd + 23 Ÿ c bcde + 90 Ÿ «bed;
faisons, en quatrième lieu,
PH Di 4Ù ab.Ÿ abca — 4Ÿ b?cd + 16 Ÿ «° bcde + Go Ÿ abedef:
Où aurà
NPA Ne Ÿ & bcde +- 30 Ÿ abcdefs
faisons, en cinquième lieu,
P,=17P1Ps; = 7 Ÿ a. Ÿ abede — D bcde + 42 Ÿ abcdef,
on aura
V,—P,=V;=— 12 abcdef; si enfin on fait
P,=—12p;, =— 12 À abcdef,
on aura V: eu P; ÉRINe = 0:
Ici l'opération est terminée et l’on a cette valeur de V, V = Pi P2 Ps — 3pi Ps — 3P5 + 4 Pa Pi + 7 Pa Ps — 12P6
176. Exemrze Il. — Ziant donnée l'équation a + pi cr! + po ti LH, LL + Prn—1 TZ + Pm —= O,
dont a, b,c,...,k, l'sont les racines, on demande la valeur de la fonction symétrique
dar. ge. h;
u est le nombre des racines qui entrent au carré dans chaque terme, et » le nombre de celles qui entrent à la première puissance.
Désignons la fonction proposée par la notation F (u, v), et, plus généralement, représentons par Fiu—n,v+2n) la fonction symétrique de même genre que la proposée et dans laquelle chaque terme contient p— n racines au carré et y + 27 racines à la première puissance.
Cela posé, on doit former, d’après notre théorie, les u + 1 égalités suivantes :
\ v (— 1) Pa Pen Eu 9) + F(p—1,v+2)
