A NÉ

ce qui permet d'écrire immédiatement la valeur de la fonction symétrique cherchée F(u, v).

Il faut remarquer que notre procédé est en défaut dans le cas de y—0o, mais la formule qui fait connaître À, ne cesse pas toutefois d’être exacte. Dans le cas dont il s’agit, les valeurs de 4, et de À, deviennent

(an —1)(22—2)...(272 —p) QT, M RREMREMR PJ,

on voit que À, n’est pas nul, comme dans le cas géné-

SECTION II. — CHAPITRE I. 399 ral, et qu'il est ici égal à A,,. L'’éauation entre 1, An) -.., À peut alors s’écrire ainsi :

(An LR 00 An—1) + A; (An 5.5 no) Ar Ce £ts An (9 +h)+ Ar (A ce %E 0; en remplaçant successivement 7 par 1, 2,..., #2, on obtient z équations, d’où l’on tire

0 M À —0, ls 0, ..,, :Àn + An 0,

et, par suite, ee. =(—1)7,2:

on a donc cette valeur de F{u, 0),

F(p, 0) ir = 2 Pu1P p+1 + 2 Puy Pur —e ve Æ 2P Pays F 2Paus

Méthode de Cauchy.

177. Cauchy a publié, dans ses anciens Æxercices de Mathématiques (4° année, p. 103), une méthode nouvelle et fort élégante pour obtenir la valeur d’une fonction symétrique et entière des racines d’une équation. Cette méthode consiste à éliminer successivement de l'expression de la fonction symétrique qu’on veut évaluer chacune des racines de l’équation proposée; elle repose sur la proposition suivente :

Soit V une fonction symétrique et entière des racines 4, 0,0, -..,.1, K, | d'une équation

LH pr + pat + HPm1 TE + Pm = 0; que nous représenterons aussi, pour abréger, par Ne O;

et supposons qu'ayant éliminé de l’expression de V, par un moyen quelconque, toutes les racines excepté a, on

ait mis la valeur de cette fonction sous la forme d’un polynôme entier et rationnel ordonné par rapport aux puissances de a, que l’on ait, par exemple,

V = A, a —- A, a» +, . +As14 + Ass

A5; A4, ... étant des quantités composées rationnellement avec les coefficients de l’équation proposée; je dis que, si l’on divise cette expression de V par le polynôme

A a” + P: a/”!—1 + P2 a—2 +, ,. T Pr «a LP:

obtenu en remplaçant x par a dans X, le reste de la division ne contiendra pas a, et sera précisément la valeur de la fonction V.

En effet, si Q et R désignent le quotient et le reste de la division V par À, on aura V = AQ +R et, comme

À est nul, VIE

D'ailleurs, ce reste R est au plus du degré m—1 en 4; nous le représenterons par

Go an-1 + qi a+, + Im—2 4 m1 et l’on aura V= goa "+ qi ae +... Him 4 nds

Mais, V étant une fonction symétrique, on peut changer les lettres a et b l’une en l’autre, ainsi que a et c, ...; et comme, par ces changements, go, 41, :.. conservent leurs valeurs, il s'ensuit que l'équation

Go aMA qi LR R Im22€ + (a a3À V)= Ê

sera satisfaite en remplaçant x par l’une quelconque des m racines a, b,...,k,l; ce qui est impossible, à moins que les coefficients ne soient tous nuls, car cette équa-

tion n’est que du degré 77 — 1; on aura donc, en particulier, Im—1 — V=0o ou M TE

comme nous l’avions annoncé.

La démonstration précédente suppose que les m2 racines &, b, c, ..., k, l sont inégales; mais les conclusions précédentes ne subsistent pas moins, si quelques-unes de ces racines sont égales entre elles. Nous emploierons, pour justifier cette assertion, un raisonnement dont on fait un fréquent usage en Analyse.

Si l'équation X = o a des racines égales, on considérera d'abord à sa place une équation X, — o, dont toutes les racines seront inégales, et qu’on obtiendra en faisant subir des modifications insensibles aux coefficients de X: par exemple, si l'équation X = o a trois racines égales à a, et que les autres racines soient différentes, on prendra

Le polynôme X, ne diffère de X qu’en ce que deux des trois racines égales à a sont remplacées par a + h et a + h': on voit aisément, sans qu'il soit nécessaire d’insister davantage, comment on devrait choisir le polynôme X,, si, outre les trois racines égales à a, l'équation proposée avait plusieurs racines égales à D, à ©, .... Cela posé, substituant l'équation X, = o à X —o et conservant d’ailleurs les notations précédentes, on arrivera à l'équation V = m1

et cette équation aura lieu, quelque petites que soient les quantités L, k”, . ..; elle aura donc lieu aussi à la limite, quand on fera À = 0, k= 0, ....

478. Voici maintenant la méthode donnée par Cauchy, pour calculer la valeur d’une fonction symétrique etentière V des racines a, b, c, .…, i, k, l de l'équation

X — + Pi æn—1 + P2 xn—2 ten + Pm — 0.

Divisons X par x — a, et désignons par X, le quotient; divisons de même X, par x — b, et désignons par X, le quotient, puis X, par x — c, et soit X; le quotient, et continuons ainsi d'enlever de X tous les facteurs linéaires jusqu’à x — k inclusivement, en sorte que X», ne contiendra plus que le seul facteur x — [, Cela posé, considérons les m équations

A0: NE 02 XS——=0, ., X nai 0!

La première n’est autre que la proposée;:et elle a pour racines a, b, c, …, k, l; la seconde a pour racines b, c, …, k, [, et ses coefficients sont exprimés sous forme entière en fonction de a etdes coefficients de la proposée; la troisième a pour racines ©, ...,k, l, et ses coefficients sont exprimés sous forme entière en fonction de b et des coefficients de la précédente, c’est-à-dire en fonction de a, b et des coefficients de la proposée; et, en général, les coefficients de l’une quelconque de ces équations sont exprimés sous forme entière en fonction des coefficients de la proposée et des racines qui n’appartiennent pas à l’équation que l’on considère. Désignons enfin par À la valeur de X pourx—a, par B la valeur de X, pour x =, par C celle de X, pour x — ec, et ainsi de suite, en sorte que Ï sera la valeur de X,,; pour x — 1, K celle de X»2 pour x — k,iet.L' celle de X,-"pour 22e