A0, B—0,C—0) I OR

Cela posé, V est une fonction symétrique, non-seulement des racines de l’équation X — 0, mais aussi des

racines de l’une quelconque des équations nn — O, X: — O0, ..., 1 Pat TZ O, p, Ver — O, > Re = O0.

Nous allons faire voir comment, en s'appuyant sur cette remarque, on peut, à l’aide du théorème fondamental démontré plus haut, éliminer successivement chaque racine de l'expression de V.

D'abord l'équation L= 0, où / entre au premier degré, permet de chasser immédiatement / de l'expression de V. Considérant alors V comme fonction symétrique des deux racines Æ et / de l'équation X: — 0, dont l'une / est déjà éliminée, on l’ordonnera par rapport à k, et on la divisera par K, conformément à ce qui a été dit plus haut; le reste de la division ne contiendra pas Æ et sera la valeur de V débarrassée des racines Æ et /. On considérera alors V comme fonction symétrique des trois racines 1, k, {de l'équation X,,3 — 0, dont les deux dernières n’entrent plus dans son expression, et, l'ayant ordonnée par rapport à 4, on la divisera par [ à l'effet d'éliminer z; le reste de la division ne contiendra pas à et sera la valeur de V débarrassée des trois racines à, k, L, On continuera de la même manière, jusqu’à ce qu’on ait éliminé de V chacune des racines a, b,c,...,1,k, l; on aura alors la valeur de cette fonction exprimée par les coefficients de l’équation proposée.

Il importe de remarquer que l'expression définitive de V s'obtient par de simples divisions, et que les premiers termes des polynômes À, B, C, ..., I, K, L, qui servent successivement de diviseurs, ont tous l’unité pour coefficient : par conséquent, ces divisions n'introduirontaucun dénominateur : en sorte que, si l'expression primitive de V est entière, non-seulement par rapport aux racines &, b, ©, ...,1, k, [, qui y entrent symétriquement, mais encore par rapport aux coefficients py,

Pos -.., qui peuvent eux-mêmes y figurer, l'expression définitive de V sera aussi entière par rapport à ces coefficients; enfin, si ces mêmes coefficients sont des nom- Pres entiers, V sera pareillement un nombre entier. Ce résultat important, que nous n'avions pas établi complétement par notre première méthode, mais qui résulte immédiatement dela méthode de Waring, se déduit aussi, comme on voit, de la méthode de Cauchy.

Application de la méthode de Cauchy à un exemple.

179. Nous allons appliquer la méthode de Cauchy à la détermination du produit des carrés de toutes les différences des racines d’une équation donnée, prises deux à deux. Cet exemple suffira pour montrer comment on peut, par des artifices convenables, simplifier dans certains cas l’emploï de la méthode.

Soient toujours a, b, c, ..., k, [les m racines de l’équation (x) X=ztæ+ parti Ep 2 E,.,. E pra x Epn— 0; soient aussi

Vi — Gal b—d}?...(4—1); V sera le produit des carrés des différences de racines de l'équation (1), prises deux à deux, et V, le produit des carrés des différences des racines de l’équation

(2 am 1 2 Pi CR 2 an—38 CETTE Dr — 0 a PA 2. + Pia + Pme A + a? M r Êta a1,

Cela posé, on a Vo Vila feet fan, ja (L

Mais le produit (a— b)(a—c)...{a—k)(a— 0) est égal (n° 49) à la valeur que prend la dérivée du polynôme X pour x = a, c'est-à-dire égal à

mani + (x —1)p} a 2 +. + Press donc on aura Nm a (nr) pi PEN pra.

D'après cela, si nous admettons qu'on sache former la valeur de la fonction V pour une équation de degré m—1,0on pourra également trouver la valeur de cette foncuon pour une équation du degré m. Effectivement, par hypothèse, on sait exprimer la valeur de V4 par les coefficients de l'équation (2), c’est-à-dire en fonction de a et des coefficients de la proposée ; donc la fonction V pourra elle-même être mise sous la forme d’un polynôme ordonné par rapport aux puissances de a, et, en divisant ce polynôme par le premier membre de l'équation proposée, dans lequel on aura remplacé x par a, le reste de la division donnera la valeur cherchée de V. Or on sait calculer la fonction de V pour une équation du deuxième degré ; on pourra donc calculer cette fonction pour l'équation du troisième degré, puis pour celle du quatrième, et ainsi de suite.

Cas de l'equation du troisième degré. — L'équation proposée est + pr? +yrx +r—=O,

et l’on a V—=(a—b}{a—c}{(b— c},

Le? — c)?, V=Viia— b}?{a -- ch; S.— Ag. sup., L 26

Â02 COURS D'ALGEBRE SUPÉRIEURE.

V, étant relatif à l'équation du deuxième degré,

x'+p|rxr+q—=o.

+ a + pa

On a immédiatement Vi=(p+a}—{4{(g+pa+a)=—3a—2pa+{(p—4q); \ d’ailleurs (a— b){a— c)= 3a?+ 2pa +, par suite

=(— 3a— opa + p°— 4q)(3a? + 2pa + q }

aï+4ps |a+äpt |e+4pq |a+p?

—72pq| —18p°q| —18pqg?| —4g

—=—27ai— 54 pañ— 27p° —$4q

Divisant cette valeur de V par a+ pa? + qa+r, on trouve pour quotient — 27 a — 27paè— 27qa +(4p° + 27r —18pq), et pour reste — A9 270 10 PTE PQ PET

ce qui est précisément la valeur de V que nous cherchons. On trouvera dans le Chapitre suivant une méthode plus expéditive pour résoudre la même question.

Formation de l'équation de laquelle dépend une fonction rationnelle et non symétrique des racines d ‘une équation donnee.

180. Soient a, b, c, .…, k, [les m racines d’une équation donnée X = 0, et

V=Rre: b, CE

une fonction rationnelle donnée de ces racines, ou de quelques-unes d’entre elles. La théorie des fonctions symétriques conduit à une méthode très-simple et trèsélégante pour former l'équation dont V dépend. Nous allons développer ici cette méthode.

S1 la fonction V contient » des mn racines, le plus grand nombre de valeurs qu’elle puisse prendre quand on échange les lettres a, b, c, ...,k, [ les unes dans les autres, de toutes les manières possibles, sera évidemment égal au nombre des arrangements de mn lettres n à n, c'est-à-dire égal à

mim—i(m—2)...(m—n+i)

Mais il peut arriver que le nombre des valeurs distinctes de V soit beaucoup moindre; nous désignerons par p ce nombre de valeurs, et par

L'AUTRE 1 les u valeurs de V. L'équation en V sera alors

ou PR Ve PNR PSC PNR PS0,

en posant

NV Eh Vie D, V, Ve + nee Core pe, 1e le — P;, VAN RUE Na (— NP,

Or les quantités P,, P:, ..., P, sont des fonctions symétriques des quantités V,, Vo, ..., el, par suite, elles sont aussi des fonctions symétriques des racines a, b, ce, ... de l’équation proposée; on pourra donc calculer les coefficients de l'équation en V par l’une des méthodes que nous avons exposées.

Nous avons admis comme évident que toute fonction symétrique des quantités V,, Ve, ... est aussi une fonction symétrique des racines 4, b,c,.... Voici, au surplus, un moyen très facile de le démontrer.

Par hypothèse, les quantités (1) Vie VAR UEUNE

sont toutes distinctes, et ce sont les seules valeurs que V puisse avoir. Faisons subir aux lettres

DENON CLR EE)

une permutation quelconque, et supposons que V, se change en V’, V2 en V’,, ...; les quantités