VV
devront toutes se trouver dans la série V,, Vs, ..+, puisque cette dernière comprend toutes les valeurs de V; je dis, en outre, que tous les termes de la série (2) sont différents, et que, par suite, cette série coïncide avec la série (1): on ne peut avoir, par exemple, V' = V",, car V,et V; ne diflèrent de V' et V’, qu’en ce que les quantités dont ces fonctions dépendent y sont désignées par des lettres différentes, et l’égalité V" = V’, entraînerait, en conséquence, V, = V;, ce qui est contre l'hypothèse. Il résulte de là que, si l’on fait subir aux lettres a, b, ce, ... un changernent quelconque, les quantités V,, V:,..., ne feront que s’échanger les unes dans les autres; par suite, une fonction symétrique de ces fonctions ne sera pas changée, et elle sera aussi symétrique relativement aux quantités a, b, c, ...,k, L.
On peut, dans bien des cas, simplifier le calcul de l'équation en V; on en verra un exemple dans la recherche de l’équation qui a pour racines les carrés des différences des racines d’une équation donnée, prises deux à deux.
Equation aux carrés des différences.
181. Soient toujours a, b, c, ..., k, [ les m racines de l'équation X = o, et posons
mm —1)
l'équation en V sera du degré = L'QUHesLiLe
nombre des combinaisons de m lettres deux à deux, puisque la fonction V est symétrique par rapport aux deux lettres qu’elle contient. Soit
Ve+HP, Vel PV +,,,—=o
cette équation, dans laquelle les coefficients P,, P2, ..
sont des fonctions symétriques des racines de l'équation proposée. Les valeurs de P,, P,, ... seront données par les formules de Newton, si l’on connaît les sommes
des puissances semblables S,, $:, ...,S, des racines de
l'équation en V; tout est donc ramené à calculer ces dernières sommes en fonction des coefficients de l’équation proposée, ou en fonction des sommes 5,, 59, ... des puissances semblables de ses racines, puisque les sommes $,, 52, ... s'expriment par les coefficients, au moyen des formules de Newton.
Voici le procédé indiqué par Lagrange pour calculer les sommes S,, S:, ... relatives à l’équation en V, au moyen des sommes 54,52, ... quise rapportent à l’équation proposée.
Posons
plz) = (x — a}? +(x — br +, PRES (x —1}7;
si l’on donne à x successivement les valeurs à, b, c, ...
k, L, et que l’on ajoute tous les résultats, on aura
pla)+p(b)+..,+e(l)=(a—b}r+... +(a—1p" +(b—a}r+...+(0—1)7
+(l—apr + (ii br +...
Or le second membre de cette équation est évidemment égal à 2S,; donc
28, = (a) +yp(b) +.. . + (1).
D'un autre côté, en développant les différents termes de
p(x), on trouve
plr) = 2? —onar1 + dan, , , Lan
es à 2n(2n—1) 1 F2
+ 2 — 9 nbr 1 + on
—— 2? 9 nlx?r-1 sa lx2r—2 Die P2n
ou
on(2n—1)
p(r)= mar — 2842271 + SQL, Some
1.2 Remplaçant x successivement par a, b, c, ..., l, et ajoutant tous les résultats, on aura la valeur suivante
de g(a)+q(b) +...+ (7) ou de 28,:
2n(2n—1) 2. Sn ee MSan —— 275; Son—1 + PÉTER D $9 San—2 + MS27 D Les termes à égale distance des extrêmes sont égaux
dans le second membre; par suite, on a cette valeur ds?
1 2n(27n —1) Dn = MSon — 2751 Sen 1 + Te S9S9n—2
SAS or AE br Pt
(uns OS
SnSne
En donnant à n les valeurs successives 1, 2, 3,...,1u, on connaîtra les sommes S,, S2, ..., S, dont on a besoin; on achèvera ensuite le calcul, comme nous l’avons indiqué précédemment.
Cas de l'équation du troisième degre. — Prenons pour exemple l’équation du troisième degré
a +pa+qzr+r—=0o et soit Vi+ PV +QV+R=0o
l'équation aux carrés des différences.
On trouve
Si, — Dr;
Sa = p°? — 24;
83 —= — pÿ + 3pq — 3r,
s,=p" — 4p?q + Apr+ 29, Ss= —p5 + 5p$q — 5p?r — 5pq? +5ar, se —=p$— 6p*'q +6pÿr + 9p?g?—12pqr — 2q$+ 37; puis Si = 353 — 5? —2p? — 6g, Se — 35, — 451 53 + 355 — 2p* — 12p°?q + 18q?, S3 — 356 — 65153 + 15525, — 105
= 2p°—18p*q—12p°r+57pg"+6hpgr—66q"—811?,
et enfin P——S, ——2p?+ 63, S2 + PS :
QE —p —6pq +99 S3 + PS: + QS =” —= 4 pèr— pq? —18pqr+4q +ogr.
: On suivrait une marche toute semblable pour former
l'équation aux sommes deux à deux des racines d’une équation donnée.
Sur la forme des fonctions rationnelles d’une ou de plusieurs racines d'une équation.
182. La méthode générale dont nous venons de nous occuper s'applique avec le même succès, que V soit ou non une fonction entière des racines &, b, c, ...; mais on peut facilement démontrer qu’une fonction rationnelle d’une ou de plusieurs racines d’une équation peut toujours, si elle n’est pas entière, être remplacée par une fonction entière équivalente.
Nous commencerons par établir le théorème suivant, relatif aux fonctions rationnelles d’une seule racine :
THéorkmEe. — Zoute fonction rationnelle et non entière d'une racine a d’une équation
(1) HOERES 0
de degré m est équivalente à une fonction entière d'un Fr e. LA . \ degi e infer ieur à mm.
sas où ® et Ÿ
désignent des fonctions entières; on aura identiquement ÿ(2)4(c)...4(2) RAF IOITUEN TU)
b,c,..., désignant les autres racines de l'équation (1). Le dénominateur d{a) L(b)...4(/) du second membre
est une fonction symétrique et entière des racines de l’é-
Soit, en effet, la fonction rationnelle
(2) pla)
quation (1), etil peut en conséquence s'exprimer rationnellement par les coefficients de cette équation. Pareillement le facteur &(b)4(c)...4({) du numérateur est une
fonction symétrique et entière des racines de l'équation
