LEUR

À mn

et on peut l’exprimer sous forme rationnelle et entière,

en fonction des coefficients de cette équation, c’est-à-dire

en fonction de a et des coefficients de l’équation (1). ? 4 6 Wen Ci e8

D'après cela, l'égalité (2) prendra la forme

où (a) désigne un polynôme entier et rationnel par rapport à a. En effectuant le produit des polynômes & et 6, notre fraction deviendra

pla) pla)

et Je dis qu’on peut supposer le degré p inférieur à mn. En

— A; +A;a+Asa+,..+A, a,

effet, de l'équation f(a) = o on peut tirer la valeur de a”? qui sera exprimée par un polynôme du degré m—1; en multipliant par a cette valeur de a”, on aura a”Ÿ1, qui sera exprimée par un polynôme du degré m, mais qu’on pourra abaisser au degré r»7—1, en remplaçant &”* par la valeur trouvée précédemment. En continuant ainsi, on exprimera chaque puissance de a, à partir de la mi°e, par un polynôme du degré m—1,et, par suite, on pourra chaspla) ÿ(a)

les puissances de a supérieures à la (m mm ph Mais on

ser de l'expression de que nous avons trouvée toutes

peut aussi opérer comme il suit: si p est => /n, on divisera le polynôme A, +A,;a+...parf(a), et en désignant par Q le quotient, par &(a) le reste qui est de degré inférieur à m, on aura

= A +Aa+...=/(e) XQ+a(2);

d’ailleurs f(a) étant nulle, on aura simplement

où & désigne un polynôme de degré m—1 au plus.

183. Quoique la démonstration précédente ne laisse rien à désirer sous le rapport de la rigueur et de la clarté, nous en présenterons une seconde qui aura l'avantage de nous fournir un procédé plus facile pour trouver la forme entière qui convient à une fonction fractionnaire donnée. g(a) ÿ(a) de f(x) = 0. On peut supposer V(a) de degré inférieur à m; car, si le contraire avait lieu, on ferait disparaître de Y(a) les puissances de a supérieures à la (mn — 1)" par l’un des procédés indiqués précédemment.

Cela posé, opérons sur les polynômes f(a) et Y(a). comme s’il était question de trouver leur plus grand com-

SoittouJours la fraction donnée, a étant une racine

mun diviseur; on aura cette suite d’égalités fla)= (ae) G +R ÿ(a)= RQ + Rs R; — RQ; + Rs

AL DIET ve OP CL OT AT DOC ja CES |

Ry-2 = Ry1 Qù + Rr, où R, ne contient plus la quantité a. Or, f(a) étant nul, on aura R; = — Q: Ÿ (a), Re ree Qi Q) ya), R3= — (Qi +Q: +Q:0:0Q)vb(a),

la dernière de ces égalités sera de la forme

O{a) désignant un polynôme entier et rationnel par rapport à a, et l’on en ure

ya) = TS on a donc p(a) o(a).8(a) ÿ(a) ne g(a)

Cette valeur de est entière par rapport à &, puisque

a) R, ne contient pas a, et, si elle renferme des puissances de a supérieures à la (m—1)°", on pourra les faire disparaître par le procédé que nous avons indiqué au n°182:

À la vérité, cette méthode semble en défaut dans le cas où les polynômes d (x) et f(x) ont un diviseur commun; car, dans ce cas, la quantité désignée par R, est nulle, ainsi que 0(a) : mais alors on pourra enlever de f(x), par une simple division, tous les facteurs linéaires qui sont dans (x), et parmi lesquels ne se trouve pas x — a, car autrement Ÿ(a) serait nul. En désignant par f(x) le résultat ainsi obtenu, à sera racine de fi(x) = 0, et le polynôme d(x) étant dès lors premier avec f,(x), on pourra appliquer la méthode.

Il résulte de ce qui précède que la fonction rationnelle la plus générale d’une racine d’une équation de degré m est une fonction entière du degré m— 1, renfermant par conséquent 77 coefficients arbitraires.

Exempze. — Toute fonction rationnelle d’une racine a de l’équation du troisième degré

a+ pr?+qx+r—=o peut être mise sous la forme

A+Ba+Ca?;

mais il est souvent préférable de prendre une forme fractionnaire dans laquelle les deux termes soient linéaires, et cela est toujours possible; car, si l’on divise l’un par l’autre les polynômes a+ pa? + qa+r et Ca?+ Ba + A, dont le premier est nul, on aura un quotient et un reste du premier degré en a, d'où il résulte que la fonction Ma+nN

À + Ba + Ca? peut être mise sous la forme ———— a + P

184. ExTENSION AUX FONCTIONS RATIONNELLES DE PLU- SIEURS RACINES D’UNE ÉQUATION. — La méthode précédente a surtout l’avantage de pouvoir être appliquée aux fonctions rationnelles de plusieurs racines d’une équation. On a, en effet, ce théorème :

Toute fonction rationnelle non entière de plusieurs racines d'une équation peut étre remplacée par une | fonction entière des mémes racines.

Rien ne sera changé à nos raisonnements, si la foncp(a) ÿ(a) racines D, e, ... de l’équation f{x)=— 0, et cette fonction pourra se mettre sous la forme A, + A,a+..., Aset À,

tion

> que nous avons considérée, renferme d’autres

étant des fonctions rationnelles de racines parmi lesquelles ne se trouve pas &. À leur tour, on pourra rendre ces fonctions As, A;,,... entières par rapport à une autre racine à, puis par rapport à une troisième, et ainsi de suite.

Methode d'élimination fondée sur la théorie des fonctions symétriques.

185. Parmi les applications que l’on peut faire de la théorie des fonctions symétriques, on doitregarder comme l’une des nlus importantes la méthode d'élimination que nous allons exposer.

Considérons deux équations, des degrés m et n respec-