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SECTION IT. --— CHAPITRE I. 413 uvement, contenant deux ou un plus grand nombre de variables x, y, ... et entre lesquelles il s'agit d’éliminer y. Nous supposerons ces équations complètes, et leurs coefficients entièrement indéterminés, et, les ordonnant par rapport à Y, NOUS les représenterons par

(1) L'bé + py""1 ÆpPaT"? Hs EPm I + Pm=O, (2) pt + qu + ga +. + QnniI + In = 0:

Les coefficients p4, Pa, :+., 41, Q», ... sont des fonctions entières de x, etc.

Désignons par a, b, c,...,k, Îles m racines de l’'équation (1); ces racines dépendent de x et des autres variables, s'il y en a; en les substituant à y, dans le premier membre de l'équation (2), on aura les mn résultats

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Cela posé, si l’on forme le produit de tous ces résultats, et que l’on désigne par V ce produit, 1l est facile de voir que M0 sera l'équation finale résultant de l’élimination de y entre les deux équations proposées. En effet, l'équation finale qui résulte de l’élimination de y entre deux équations est simplement la condition nécessaire pour que ces deux équations aient une racine commune, et il est bien évident que la conditien nécessaire et suffisante pour que les équations (1) et (2) aient une racine commune est que

l’un des résultats (3), ou leur produit V, soit nul. D'ailleurs, V est une fonction symétrique etentière des

racines de l’équation (1}, qui contient, en outre, ration-

nellement les coefficients de l'équation (2); on pourra

donc exprimer cette foncuon rationnellement par les coefficients des équations (1) et on

186. La méthode précédente conduit facilement au théorème de Bezout, relatif au degré de l’équation finale.

Nous supposerons, comme précédemment, que les deux équations (1)et (2), l’une du degré m, l’autre du degré n, soient complètes, et que leurs coefficients soient dans une complète indépendance. Alors les quantités p, et gs sont des fonctions entières du premier degré par rapport aux variables x, ... qui figurent dans les équations proposées; pareillement, p:, g+ sont du deuxième degré, et, en général, le degré des coefficients de y dans les équations (1) et (2) sera indiqué par leur indice. Cela posé, je dis que :

Le degré de l'équation finale qui résulte de l’élimination d’une variable y, entre deux équations complètes dont Les coefficients sont indéterminés et indépendants les uns des autres, est précisément égal au produit des degrés des deux équations.

Considérons, en effet, un terme quelconque du produit des expressions (3), par exemple