ARE GIE RQ D RATIO RE

ce terme se trouvera dans V, ainsi que la fonction symétrique dont 1l fait partie. V est donc la somme d’expressions de la forme

In-un—6 *.. TE) at b$ Ex

en observant qu’il faut remplacer g,. par 1, sta —=n, et de même pour les autres. Or, d’après ce qui a été dit plus haut, le facteur g,«qh +. ..q 1 est du degré (n—0)+(n—6)+...+{(r—)}) oumn—{(ax+ 6 + + À)

SECTION Il. — CHAPITRE I. 41

par rapport aux variables x, ...; si donc nous faisons voir que le second Retour Ÿ a*b$...l'est, par rapport

à ces mêmes variables x, ..., du degréa+6+...+a, il s’ensuivra que le terme de V que nous considérons est du degré mn, et que V est lui-même de ce degré. Les coefficients py, pr, ... de l'équation (1) étant, par rapport à x, ..., d’un degré égal à leur indice, il en sera de même des sommes de puissances semblables 5,, 59, ... de ses racines; cela résulte immédiatement des formules de Newton. Ainsi le degré d’une fonction symétrique simple telle que s, est le même, soit que l’on considère s, comme fonction de a, b, ..., soit qu'on la considère

comme fonction de x, .... Enfin, ab, /neut

s'exprimer en fonction des sommes 5, par une formule entière qui est du degré «a+6+...+ À par rapport aux racines a, b, ..., et qui est, par conséquent, aussi du même degré par rapport à x, .... Le théorème est donc démontré.

Nous avons admis comme évident que les termes de degré mn, qui se trouvent dans V, ne peuventse détruire, tant qu’on laisse Indéterminés les coefficients des équations (1)et(2). On peut, au surplus, mettre ce fait hors de doute en se référant, comme nous l'avons fait au n°71, au cas particulier de deux équations dont les premiers membres sont décomposables en facteurs linéaires.

187. Si les coefficients des équations (1) et (2) ont des valeurs déterminées, on pourra toujours leur appliquer le raisonnement du n° 185, pourvu que ces équations contiennent la plus haute puissance de l’inconnue qu’on

élimine. On est ainsi conduit à la proposition suivante, qui est générale :

Le degré de l'équation finale résultant de l’élimination d’une inconnue entre deux équations qui en contiennent plusieurs est au plus égal au produit des degrés de ces équations.

Ce dernier théorème subsiste lors même que les équations proposées manquent de la plus haute puissance de l'inconnue qu’on élimine.

Soient, en effet, deux équations entre deux variables x et y, ayant respectivement m el x pour degrés et manquant du terme le plus élevé en y. En considérant x et y comme des coordonnées rectilignes, ces deux équations appartiendront à deux courbes, et le degré de l'équation finale résultant de l'élimination de y sera égal au nombre des points d'intersection réels ou imaginaires de ces courbes. Par conséquent, ce nombre ne changera évidemment pas, si l’on rapporte les deux courbes à d’autres axes de coordonnées; mais alors les nouvelles équations de ces deux courbes se déduisent des anciennes, en remplaçant x et y par des fonctions linéaires ax + by, ax + by, et elles contiendront évidemment, l’une un terme en 7”, l'autre un terme en y”, à cause de l’indétermination de b et de b’; le degré de l'équation finale en x résultant de l'élimination de y entre ces nouvelles équations sera donc au plus égal à mn : par suite, le nombre des points d’intersection des deux courbes ne pourra surpasser 777, et il en sera de même du degré de l'équation finale qui résulierait de l'élimination de y entre les deux proposées.

La même démonstration s'applique au cas où les deux équations proposées contiennent, outre x et y, d’autres

“variables z, u, .... En eflet, si l’on pose

TES or.