V0 D NEO

Pm—i peuvent avoir lieu, quoique les équations (1) et (2) n'aient qu'une seule racine commune. En effet, f{a), f(b),...,f{L) sont des fonctions linéaires de p,,; et leurs dérivées par rapport à p,, ; ont respectivement pour valeurs af, bi, ..., li; donc, à cause de

on aura D,,,V=atf(b)...f{t)+btf(a)...f(t)+..

Il est évident, d’après cela, que les équations de condition V0

seront vérifiées si chacune des équations proposées a une racine nulle.

ExemPze. — Appliquons le théorème de Lagrange aux deux équations

a+ p,x° + Pax fl) = 0,

En appelant à et b les racines de la seconde équation, on à V=(a + pit + pa + ps)(8+ pi b? + ps b + ps)

— 43 —192P1 +(gi4a—2q3)pa — (qi — 34192)Ps + 2P1

— 1Q2P1P2 + (qi — 292)P1Ps + 2P3 — GiP2P3 + Ps

D,,V=— qi + 3q: ga +(q?— 2q2)P1 — 1 Pa + 2 Pas

La condition, pour que les équations proposées aient une racine commune, est V — 0; par suite les condi-

tions pour deux racines communes seront Nr O, D,,V 10

En éliminant p, entre celles-ci, 1l vient

(gi — 4q»)(qi— go: — qiPit Ps) = 0:

cette dernière se décompose en deux autres. Si l’on prend gr À q2 = 0} on exprimera que les deux racines de l’équation du second degré sont égales entre elles, et ces racines satis-

feront à l'équation du troisième degré, en vertu de la condition V = 0. Si l’on prend, au contraire

?— a — 1 Pi + PI =0,

l'équation D,,V = 0 se réduit à 192 — I2P1 + P3 — O0.

Les deux équations précédentes expriment les conditions nécessaires et suffisantes pour que la première des équations proposées soit divisible par la seconde

Methode de Tschirnaüs pour faire disparaître autant de termes que l’on veut d’une équalion.

190. On peut rattacher à la théorie qui nous occupe la méthode élégante que Tschirnaüs a donnée dans les Æctes de Leipsick pour 1683, et qui sert à faire disparaître d’une équation autant de termes que l’on veut. Cette méthode consiste à transformer l’équation proposée en une autre dont la racine soit une fonction rationnelle de celle de la proposée, ou, si l’on veut, une fonction entière de degré inférieur à celui de l’équation proposée, car c’est à cette forme (n° 182) que peut se ramener la fonction rationnelle la plus générale,

hat:

SECTION II. — CHAPITRE I. 425 Soit (1) 2 + pi er + Pa tale FENTE Pm—1T + Pm —O une équation du degré m, et posons (2) Y=ao+ar+ari+...+a, ir a,rr,

Go dy, -.., désignant des indéterminées, 7 un entier inférieur à #1. L’équation finale en y, qui résulte de l’élimination de x entre les équations (1) et (2), sera évidemment du degré m, puisque y a autant de valeurs que x. Cette élimination peut se faire par les fonctions symétriques, de la manière suivante : en élevant l’équation (2) aux différentes puissances 2, 3, ..., m,eten ayant soin de rabaisser les exposants de x au-dessous de m, à l’aide de l’équation (1), on obtiendra une suite d'équations de la forme

/ Ne RE bix + bix? +, Nertr RERE arr (3) Mi Co Hi tr + . + Cyn—1 DAS CCE. os ICE PACE DEC NE ACC, OC EC QUE 19 CEE SCOR MERCRCSCE

Ve #5 5. ki x Reese ect Km 1Tm-A1"

bo, b1, ... sont des fonctions homogènes et entières du deuxième degré des indéterminées &s, &i, ...; pareillement c,, c;, ... sont des fonctions homogènes et entières du troisième degré de &o, &, ..., et ainsi de suite. Si, maintenant, 54, 5, ... désignent les sommes de puissances semblables de racines de l’équation (1); S 1, 92 - - :, celles des puissances semblables des racines de l’équation en y, les équations (2) et (3) donneront

LS = Map + Si + Ass +t.., Han Sn + EnSns

(4) So ee mb, + b, si —+- bass a UT TL ve DR LATR

Connaissant ainsi les sommes de puissances semblables des racines de l’équation en y, on pourra former cette équation.

On peut y arriver encore de la manière suivante. On résoudra les équations (3) par rapport aux puissances xt, x?, ..., x""t, et l’on portera leurs valeurs dans l’équation (2). Ce procédé a l’avantage de donner la valeur de x exprimée rationnellement en y, en sorte qu'on connaîtra chaque racine de l'équation proposée, quand on aura résolu l'équation finale en y.

Représentons par (5) SH QI + pI + + m1 Y + Am = 0 cette équation en y, OÙ 44, Yo +3 Im SONt fonctions entières des indéterminées &o, &y, ..., et qui exprime la condition pour que les équations (1) et (2) aient une racine commune. Je dis que de cette seule équation (5) on peut déduire la valeur de x qui correspond à chaque valeur de y, et même la valeur d’une puissance quelconque de x. En effet, désignons par Ÿ ce que devient

le second membre de la formule (2) quand on y remplace le coefficient à, par a, + h, et soit

(6) NEC QYILOQYLEH,,,+Q,, Y +Q,—=o

l'équation de laquelle dépend Y. Chaque coefficient Q; est une fonction entière de a, + h, et, si on l’ordonne suivant les puissances de h, on aura évidemment

hiree Q: — qi + hDe, di + x 4 Dédi +. .,

eo à » , C , 4 Da, UP D? 4» «+. représentant les dérivées successives du polynôme g, par rapport à a,; on a d’ailleurs

Y = 7 + Art,

Si l’on porte ces valeurs dans l’équation (6), celle-ci de-

TA

viendra identique, quel que soit 2, quand on attribuera à x et à y leurs valeurs simultanées; en conséquence, les coefficients des diverses puissances de 2 doivent être nuls. En égalant à zéro la partie indépendante de h, on

retrouve l'équation (5), et si l’on égale à zéro les coefficients de la première puissance de k, il viendra

Enr: —+ (m Nr 1)g I"? + ON nv der

+ Da (I + GI +. + QmT + Im) = 0

et, par suite,

D, (9 + LP CET PIC Im1I + Fa

es = un se my"—1 + (m — 0 CPE 28 +. E 7 m—1

On aura, en particulier,

D, ("+ II +... + qm1I + Im)

On voit donc qu'il suffira de résoudre l'équation (5) pour avoir résolu par cela même l'équation (1).

Cela posé, on peut disposer des indéterminées &, &y, -.., de manière à faire évanouir 7 termes de l’équation en y; par exemple, si l’on veut faire disparaître les n termes qui suivent le premier, 1l suffira de poser

Di O0 De 0, . So.

Or, en se reportant aux équations (4), on voit queS, est du premier degré par rapport à &o, &, ..., que Sa est du deuxième degré, S; du troisième, etc., S, du n°, Donc, d’après le théorème de Bezout (n° 70), la détermination de ces indéterminées, dont l’une peut être prise arbitrairement, dépend d'une équation du degré

et, si l'on voulait faire disparaitre de l'équation (5) tous

les termes, à l'exception du premier et du dernier, le problème dépendrait d’une équation du degré