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À et À, étant des entiers premiers entre eux. Soient A, A3, ..., A», 1 les restes successifs auxquels conduit la recherche du plus grand commun diviseur des nombres À et À,, et a,a,,...,an les quotients fournis par cette opération ; On aura
A—A, a + A», A, —A;ai+ A3, .…. An 1 Ardant ls
y « 8 COURS D ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
d’où, par la définition des nombres x,, x, :.., A I
, À 3 De X—A+ y M=+ 9 cs Ty —=Gnj+ —9 TYn—=AÂne A; A; n
Mais, si la quantité x est irrationnelle, aucun terme de la suite x, Xi, Xo, ... ne sera entier ni même rationnel, et l'on pourra en conséquence prolonger cette suite indéfiniment. En effet, si quelqu'un des nombres x,x1,%, est rationnel, il est évident que tous ceux qui le précèdent le sont aussi.
51 l’on élimine les quantités x,, 2,17 entre les 7 premières des égalités (1), la valeur de x prendra la forme
(2) T'== a + Gi LOIRE (44) + À I Es Apnit —$ me lorsque x est un nombre rationnel, il existe, comme on vient de le voir, une valeur de » pour laquelle x, est w ,
e L. 1 Li L2 on peut alors supprimer la fraction — dans l'expression Th précédente. Il n’en est plus ainsi lorsque x estune quan-
üté 1rrationnelle, mais il sera démontré que, après la sup-
. ; I pression de la fraction —, le second membre de la forsf
mule (2) converge vers la valeur de x quand on fait croître le nombre z indéfiniment.
Nous sommes ainsi conduits à étudier les expressions de la forme
(3) à + à di +
do + ds +.
Où 4, di, 4, ... désignent des entiers positifs dont le
nombre est limité ou illimité, et parmi lesquels le premier seulement peut être zéro. On donne à ces expressions le nom de fractions continues.
Lorsqu'on réduit ainsi une quantité x en fraction continue, on donne le nom de guolients complets aux quantités X, Xi, Lo, . . . dont les valeurs sont fournies par les formules (1); les entiers a, a,, a, ... contenus respectivement dans les quotients complets sont dits quotients incomplets. Enfin on nomme fractions convergentes ou réduites les valeurs que l’on obtient quand on arrête la fraction continue à un quotient incomplet quelconque. Ainsi, dans la fraction continue (3), a est la première
ee, I Fe I réduite, a + — est la deuxième, a + DO TAC A la
LE) troisième, et ainsi de suite.
On considère, dans certaines questions d'Analyse mathématique, des fractions continues plus générales que celles dont il vient d’être question et qui ont la forme
& a + + ei EU.
en — FETE
DR GR 2. ir das. étant, des quantités quelconques. Mais ces expressions nouvelles ne sont d’aucune utilité pour l’objet que nous avons en vue, et 1l n’en sera point question dans ce qui va suivre.
De la formation des réduites.
