assurer, égal à
drl(u)W{u) D Pr Pneu Pt k I 86 du LA (&)]
Jo TX duk—1 (°)e
Maintenant, si les séries (6) et (7) restent convergentes quand on réduit chacun de leurs termes à son module, la série nouvelle que nous venons de former sera aussi convergente, par un théorème connu, etelle aura pour somme le produit des sommes des deux premières séries. D’ailleurs elle se déduit de la série (6) ou (7), comme on vient
(*) La réduction dont il s’agit ici résulte de la formule qui sert à exprimer la différentielle d’un ordre quelconque du produit de deux fonctions. Si 4 et s désignent deux fonctions d’une variable indépendante x, on a
d' (uv) = udŸv+ É dudt"o+ BED ut ot.
mais, # étant une fonction quelconque de x, on peut écrire aussi + P dŸ (uv) = ud*v + É (du) d* Ée
(u—i1)...(u—k+i ET (a) D pre em CC
de (te du) $ ei er
Cette formule se vérifie immédiatement quand w =1; pour établir sa généralité, il suffit donc de montrer que, si elle a lieu pour les valeurs 1,2, ..,/n de y, elle subsiste pour u = m» +1. Dans cette hypothèse, si l’on
y fait u — m— 1 et qu'on écrive £ au lieu de x, Tr au lieu de », on aura
m—i Le y ; (tdt)dm-i-1 Fri
Mi — Ra PRE d fo tan Feu
(m—i)(m—-i—:1 4 y (8) 4 Le ) (et de) dm=i-: mate.
ce dm—i-t (em-idt). EE
L] fin ti HA
Cela posé, si l’on différentie la formule (a ), après y avoir fait we — m1, on
SECTION Il. — CHAPITRE II. 443
de le voir en remplaçant dans celle-ci Ÿ (u) ou Il{w) par le produit [T(u) F(u); donc on a (8) [en] = [(Y][n],
et s1 l’on pose
PA n(u) Y(u)=d(u), n(u)= Se, on déduira de la formule précédente Lo] [9 (9) [Y] — FL Posons I I NS ® F(u)= = Di — rm? d'où 2e AT He
n et n—m étant des entiers positifs, on aura, par la
formule (5),
I I et de même I I arm sr pr—-m RMS qn—m ANA (+ en m);s
trouvera, en faisant usage de la formule (b), que le coefficient de d"-k+1 5
se compose des deux parties suivantes :
È Reel e RUE À er NU 4 20 RE EE [au dk (ek— de) + d(tdu)dk-" (kde) +...
+ dk=t (tkt du). JL
Dans la seconde partie, le facteur entre crochets a pour valeur di-1 (tk du), car ce facteur n’est autre chose que le second membre de la formule (a) quand on remplace p par 4 —1, u par & et v par tk—' du, La somme des deux parties dont nous venons de parler est donc
ÉD) RARE (MEL) gr (du),
d'où l’on conclut que la formule (a) subsiste pour u=m+1
la formule (9) deviendra alors
RANCE x + Et .. = se (5 / + Em Ë | a . Fr. e
a\?-" AN MEITS ë, VF + (5) +. (S) ,
Supposons que le module de la racine a soit inférieur au module de chacune des autres racines, et faisons. tendre 7 vers l'infini, » restant constant; les rapports
a\? a\?-"n " ER AE à >... tendrontvers zéro, etsiles quantités €»,
En m S'évanouissent aussi pour 7 —% , On aura
D ar — à ,
c'est-à-dire
m HUESUT APT jp TERRES du 1 du (10) 1 ( a pe ar et k di I du LA(u)] de :
\ ER: du PAT
enfin, si l’on désigne par F (x) une fonction de u, telle que
F{u) ae PU LA ES a ui RE, .
on déduira immédiatement de l’équation (10) la formule due à Lagrange, savoir :
| F(a)=#F{u)+F'{u) f{u) + = PUS ME (r1) i— F’ | li D'EE ON AAETANE ee
Si l'on prend F(u)—u, la formule (11) donnera le développement en série de celle des racines qui a le plus petit module.
Le résultat qui précède montre que, si l’on cesse de rejeter les térmes qui ne contiennent pas uw en dénominateur, dans la formule (4), il faudra réduire le premier membre à celui de ses termes qui se rapporte à la racine de module minimum.
L'analyse que nous venons de développer est extrêmement élégante, mais on aperçoit aussi combien elle est défectueuse ; elleindique effectivement que certaines conditions sont nécessaires pour l’exactitude de la formule obtenue, mais elle ne donne aucun critérium pour reconnaître les cas dans lesquels ces conditions sontremplies: nous reviendrons sur ce sujet à la fin de ce Chapitre.
Æ£xpression de la somme des puissances semblables des racines d’une équation, en fonction des coefficients.
196. Nous allons appliquer la théorie que nous venons d'exposer à la détermination de la somme des puissances
-semblables des racines d’une équation en fonction des
coefficients. Soit (a) 2m pat pa px ph =0o
l'équation proposée. Nous désignerons par a, b, c, .…., l ses racines, et nous poserons
S,—=a"+ br ct +... Hi,
: I ; x Si l’on change x en —; l'équation (1) devient s #4
(2) PR (era, :42men) 0, Pi P1 Pi
ou U— + +f (x) est!)
. I ° en mettant u au lieu de — —;, dans le premier terme, et P) |
en faisant
ft)=- (Rens... Bnen)
Pi P1 Pi
Les racines de l'équation (2) sont les inverses de celles de l’équation (1); on aura donc, d’après la formule (3)
du n° 194,
PR TT nel ) PR PP a à TITUEN du nr 33 du? En
série dans laquelle le terme général est
sait dirt le (4) D D RME |
ve # dut—
et où il fautretenirseulementles termes qui contiennent u en dénominateur. Cherchons à quoi se réduit l’expression (4).
Conformément à l’usage adopté par plusieurs géomètres, nous conviendrons que le symbole T(u+1) représentera le produit des u premiers nombres entiers dans le cas dep entier positif, et que le même symbole se réduira à l'unité dans le cas deu — 0; ainsi l’on aura
Diprtd)= 1:23. plet ET) =r Cela posé, on a
f(u)=— (2: n? Es LS NES RUE «) Pi Pi Pi
et, en élevant à la puissance £,
; T(i+1) pÿ::-P He À Ï (en 5 D LR) PE Eee MR ELLE u2k:+. +:
[f{u)] DY Dane < rh 0) pre RE UE (2
le signe sommatoire ÿ s'étend à toutes les valeurs en-
tières positives ou nulles des exposants À, À3, ..., Âm assujettis seulement à vérifier l’équation de condition
(5) DS 2 RTE AS VE T À es nuT?—i et qu'on détermine le nombre À, par la condition
Si l’on multiplie cette valeur de [ f(u)} par
(6) AAA PR I RIM re
il viendra PL
— —— ns L'(x)T
À À — Cm) ñn Ps. Pr u= ut), T(h+1). Ê% TÜm—+1) pt + Âm
et, comme nous n’avons à tenir compte, dans le second membre, que des termes qui contiennent w en dénominateur, on voit que le nombre À, ne devra recevoir aucune valeur négative. Si l’on prend les dérivées d'ordre à — 1, par rapport à u, des deux membres de l'égalité précédente, il viendra, en ayant égard à la condition (5)
| I dit EL [/(u)} (7) ne 4 PROS duiri
Ye + 9 +. . +») pY. se pr I :
Th Le 1): cie (y +1) PE ER ait em
Le second membre de cette égalité (7) exprime la somme
des termes du premier membre qui contiennent w en
dénominateur ; ces termes sont les seuls qu’il faille re-
icuir; le signe N s'étend à toutes les valeurs entières a
nulles ou positives des exposants A1; 1», ..., À SUSCEP-
bles de vérifier les équations de condition (5) et (6). En faisant successivement
