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dès que le nombre variable 7 sera supérieur à m, le dé-
nominateur de celte expression ne pourra s’annuler, car m est, par hypothèse, différent de zéro ; d’ailleurs le numérateur est nul, puisque 72 est un entier; donc la moyenne arithmétique des 7 valeurs de z”* considérées est nulle dès que n surpasse mn. Îl s'ensuit que la valeur moyenne de la fonction z”* est égale à zéro.
Quand le nombre m est zéro, la fonction f(z) se réduit à l’unité et dans ce cas sa valeur moyenne est ellemême égale à 1.
On peut conclure de ce qui précède la proposition suivante, qui nous sera utile :
THéorëme. — Si, pour une valeur déterminée p du module de la variable z, la fonction f(z) est développable en une série convergente ordonnée par rapport aux puissances entières positives et négatives de z, le coefficient d'une puissance entière quelconque z*, dans le développement, est égal à la valeur moyenne du
quotient ZAÈR
es
En effet, supposons que, pour une valeur p du module de z, on ait, quel que soit l’argument w,
F(z) LV 27, Mm=— on pourra écrire fl | Mm= + ao dé Jr k NZ — a ou, si l’on veut, m—=+M
z) A ; J'EN éd
rh
e désignant une quantité qui tend vers zéro quand l’en-
SECTION II. — CHAPITRE Il. 469
tuer M tend vers l'infini. Prenons les valeurs moyennes des deux membres de cette égalité; tous les termes com-
pris sous le signe À donneront des valeurs moyennes
nulles, à l'exception de celui qui répond à m = k et qui aura À; pour valeur moyenne. Si donc on désigne par
S(z) n la valeur moyenne des, et qu on représente par JR CE celle de AR on aura De a — A, + n;
mais il est évident que n—0, car n est la limite que prend, pour 7 — , la moyenne arithmétique
Ep + RUE nes et Ent
des r valeurs de €; le module »n est donc inférieur à la moyenne des modules des quantités €, et, par suite, inférieur au plus grand des modules de ces quantités. D'ailleurs celui-ci s’annule pour M — w et, en conséquence, le module de » se réduit en même temps à zéro. On a donc
JU Bs) ue Z 206. Lorsqu'on attribue une valeur déterminée au module p de la variable z, et que l’on donne à l’argument w toutes les valeurs comprises entre zéro et 27, le module de la fonction f(z) prend diverses valeurs. La plus grande de ces valeurs a reçu de Cauchy la dénomination de module maximum; le module maximum de f(z) est donc une fonction du module de la variable z.
Par exemple, soit (ae + Zi
