AT RER

ae* désignant une constante et 77 un nombre entier; le module de ae) sera la racine carrée de l’expression

F [ (ae ñ pe“) (ae ti + p'CT AN OS ou

Le 24apcos{o — «)+ p?}",

et il est évident que le maximum de cette expression répond à © — «; il s'ensuit que le module maximum de , la fonction f(z) a ici pour valeur

Cela posé, on a la proposition suivante :

THéorime. — Le module de la valeur moyenne d'une fonction f(z) est inférieur au module maximum de cette fonction.

En effet, la valeur moyenne At. f{(z) de la fonction f(z) est la limite vers laquelle tend l'expression

Ff(a)+f(u)+.. + A (en),

nm

quand 7 tend vers l'infini; le module de la somme qui figure au numérateur est inférieur à la somme des modules des parties, et en conséquenceil est inférieur, quel que soit z, à n fois le module maximum. Donc le module de M f(z) est moindre que le module maximum.

CorozLaire. — Lorsque, pour une valeur donnée du module p de la variable imaginaire z, une fonction f(z) est développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances entières positives et négatives de z,

le module du coefficient de =) dans le développement,

est inferieur au module maximum du produit z f (z).

En effet, d’après le théorème du n° 205, le coefficient de : dans le développement de f(z) est égal à la valeur moyenne du produit zf (z), et, d’après le précédent théorème, le module de ce coefficient est inférieur au module maximum de zf(z).

207. Ces notions préliminaires étant établies, considérons une équation de la forme

z—=to(x +2),

dans laquelle t et x désignent deux constantes quelconques réelles ou imaginaires, et où o représente une fonction bien déterminée qui reste continue pour toutes les valeurs de z dont le module est inférieur à une certaine limite R. Nous établirons d’abord, d’après M. Rouché, le théorème suivant :

Taéorème [. — Si la fonction (x + z) est bien déterminée et continue pour toutes les valeurs de z dont le module est inférieur à R, et si la constante est telle, que le module maximum de la fonction

to(x + z) Z

soit moindre que l’unité pour une valeur r du module p de z inférieur à R, l'équation

LA us to(x + z) aura une racine unique de module inférieur à r.

En effet, soit m# le nombre des racines z,, 20, ..., 2m de cette équation, dont les modules sont inférieurs à r';

() 2—tpfa+a)=(s—)(5— 2)... (8 — 20) (8) en désignant par Y(z) une fonction bien déterminée,

qui reste continue et qui ne s’annule pour aucune valeur de z dont le module est inférieur à r ; on tire de là

log Li = — logb(z) log(z —z)+...+ log(z—2,)— logz,

et, en différentiant, dog] 1]

. ETUIS 80e EAU OREEESSSS

En dz dz Z— 2, Z2— 2m 2%

tolx +2)

Donnons maintenant à la variable z le module r'; le ty(z +3) Z

module de étant alors moindre que l’unité,

par hypothèse, on a lo to(x +z) tr APTE Se) Reel da ee

z Zz Z

IE

d’ailleurs la fonction o(x + z) est développable, ainsi que chacune de ses puissances, en une série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de z;

donc la fonction t \ PE Li #2.) Z

peut être développée suivant les puissances entières positives et négatives de z. La même chose aura lieu aussi, par un théorème connu, à l'égard de la fonction

ie Li rite) nan Lente mire EL

z dz

et 1l est évident que, dans le développement de cette re xt a I dernière fonction, il n’y aura pas de terme en Es

D'un autre côté, la fonction dlogÿ(z) __ ÿ'(z) (z)

dz est évidemment développable par la formule de Maclaurin, suivant les puissances entières et positives de z, puisque le module r de z est inférieur à R; donc il n'y a

Se

I x , aucun terme en — dans le développement du premier E

membre de la formule (2).

Passons au second membre; comme on a

EN | n ee D] n

7 Pie é I il est évident que le coefficient de ar dans ce second

membre, est égal à m—1; ce coefficient doit être nul, et l’on a en conséquence

208. La démonstration de la formule de Lagrange est contenue dans le théorème suivant, qui fait connaître en même temps quelle est celle des racines dont la formule fournit le développement.

Taéorëme II. — Les mémes choses étant posées que dans le théorème L, si l’on désigne par z, la racine de l'équation

Le to(zx nr z) 220:

dont le module est inférieur à r, et par F(x + z) une

fonction bien déterminée et continue pour les valeurs de z dont le module n'est pas supérieur à r, la quantité F(x + 2,) sera développable en série convergente par la formule

F(z+z)=F{(x) + 2 F'(x) 9 (2) + REMPE +...

en am F'(x)[e(r)}"

AE RAT 2 dard

En effet, l'équation 3 — to(x +z)—=o

n'ayant qu’une seule racine z, de module inférieur à r, on a, par le numéro précédent

(1) log | 1— mr | — og (2) = og (1— 4),

et, en multipliant par la dérivée F'{(x + z)deF(x +), il vient

tp(r+z) Z

F'(x + &) log | rte +shogp(e)

= F'(x + z) log ie 2).

Donnons à z le module 7, développons les deux membres suivant les puissances de z, et égalons entre

eux les coefficients de = Considérons d’abord le premier membre. La partie : I F'(x + z)logd(z) ne contiendra aucun terme en -; Z

car logŸ(z) est développable suivant les puissances enüières positives de z, comme on l’a vu au numéro précédent, et la même chose a lieu à l’égard de la fonction F'(x + z) qui, en vertu de notre hypothèse, est déve-

3 LL ts

SECTION IT. — CHAPITRE II. 475 loppable par la formule de Maclaurin. Quant à la première partie, le module de HE étant inférieur à 1, elle peut être mise sous la forme

—P(r+s)] Lele+e)+ tele a+.

Le(e +5} +... |

Le coefficient de z*-1 dans le développement de P{æ + 2)[o(r+z)}"

suivant la formule de Maclaurin, est égal à

I Es MIE 1.2...(72 —1) dx"—1

expression qu'il faut réduire à F(æ)g(<)

lorsque 7 —1; d’où il résulte que, dans le développement du terme

DUREE F'{x + z)[p(x + z)]7,

: I le coefficient de 7 à pour valeur

sn RENE Ce

Va Tr dx"1

en outre, d’après la proposition établie au n° 206, le module de ce coefficient est inférieur à Ce Ph PIRE p étant ie module maximum de F'(x + z) et g celui de

tolxr + z)

D'après cela, dans le développement du pre- Zz

AR I mier membre de la formule (2), le coefficient de ; st

la somme de la série

n |: MSN E ee

tr dE) loiriP

I 1 dx ps en di MEDITIED NL rer dE +21

et cette série est convergente, car les modules de ses termes sont inférieurs à ceux de la série

/ 2 3 q q q CR EL.

16) ( fl 2, 3 ) dans laquelle g est 1, par hypothèse; il est évident que cette dernière série est convergente et a pour somme

— prlog(i — q).

Considérons maintenant le second membre de la formule (2); z ayant le module r, chacun des facteurs qui le composent est développable en série convergente, par la formule de Maclaurin, et l’on a

F'{Z +2) log e à) = — LF (r) he <F”(æ) = .

| px) +. J

LA 2° 3; < y are A7 +... =

. 1) . I 4 L] Dans ce produit le coefficient de — est évidemment la Z

somme de la série