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retranchant ces identités l’une de l’autre et supprimant

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SECTION II. — CHAPITRE Il. 479

le facteur e°i, 1l vient OP TR dP 0Q : go) a de LP er dp dp do dw d’où l’on conclut 3) 404 P 0 A 2 p 0Q

5 ONE D ie. ME por io TRE TOR du

En vertu de ces formules (5), les équations (2) et (3) ne peuvent avoir lieu que si les seconds membres des formules (4) s’évanouissent; par conséquent la valeur de z qui répond à la plus petite valeur du module maxi-

mum satisfait à l'équation

Ÿ’ (2) HE ou zo!(x +z)— w(z +z)—o.

Désignons par { cette valeur de z, et posons

plr +t)

ë pr +t)=;

la quantité { sera une racine commune aux deux équations z—tp(x+z)—=o, 1—rp{(x+z)—o, et, par suite, elle sera une racine double de l’équation

z— Tor +z)—o.

Désignons alors par t une constante dont le module soit inférieur au module de +, et attribuons à la variable z le module de la constante €; 1l est évident que le module

t 5 Et maximum de — sera égal au module de —-: 1l sera (1 donc moindre que 1. En conséquence, l'équation

z—tg(x+z)—0o

t PRE 6 ie p(x) LEP

aura une racine unique de module inférieur au module de €, et le théorème du n° 208 pourra être appliqué à cette racine.

210. Si l’on pose z=u— x, l'équation Z — to(r +z)—=0o se transformera dans la suivante :

= ZX + to u),

et, d’après les développements qui précèdent, on peut énoncer la proposition suivante :

THéorime. — Soient o(u) une fonction bien déterminée qui reste continue, et T Le plus petit des modules qu'il faille attribuer à t, pour que l'équation

u—x—+to(u)

ait deux racines égales. Tant que le module de t restera inférieur à T, celle des racines u de la méme équation qui a le plus petit module sera développable en série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de t; la méme chose aura lieu aussi pour toute fonction continue de la méme racine u.

On a (n° 208), si F(u) est une fonction continue, x à Le LUE x) F(a)=F(c)+=F(z)q(z)+ — : )]

t” ADO NES e)[g(x)]"

HS LR Ta 72 dr" 1 ;

ce qui est précisément la formule de Lagrange, sous la forme que cet illustre géomètre a adoptée. Si la fonction Fu) se réduit à u, il vient

edit, Le diff)

Loti as à ID dx"!

La forme que M. Rouché a donnée à la formule de

+, Cn

Lagrange (n° 208) est souvent préférable dans les applications à celle que nous venons de présenter ; au reste, on passe de l’une à l’autre forme par un simple changement de variable (1).

Applications de la formule de Lagrange.