Considérons l'équation trinôme (x) u— x + tu

Pour que cette équation ait deux racines égales, il faut qu'elle ait une racine commune avec sa dérivée

(2) 1—= miu"—1, L’élimination de t entre ces deux équations donne

mr U= ————3 PEER EI

et l'équation (2) donne, pour t, la valeur correspondante

(m + Lire

m'! ri

Donc, pour toutes les valeurs de t dont le module est

(m Sr 1)

inférieur au module de . celle des racines de

l'équation (r) qui a le plus petit module est développable en série convergente ordonnée par rapport aux puissances entières de £. Le développement sera, d’après

(*) Dans son Mémoire sur la série de Lagrange, M. Rouché a établi aussi une autre formule plus générale, et de laquelle il a tiré une démonstration très-simple de la formule par laquelle Waring a exprimé la somme des puissances semblables des racines d’une équation algébrique. Je renverrai pour ces développements au Mémoire de l’auteur.

S. — Alg. sup., E. 31

la formule de Lagrange,

U—= X + xt ie 12,72 a2n—1 tr? pr x3n—2 13 SE ee

nminm—1)...(nm—n+o) PE Le Des PARC

Le terme général u, de cette série a pour valeur

Con EE Len ee Û ,

U, — SL DAS He

et l’on en déduit

ee RTE (em+m)(rem+m—i1)...{nm+i) Un. n+1 (nm—n+2)...{(nm—n+m)

ænt--1 L:

Ja limite de ce rapport, pour 2 = % , est

mm ami (m CE Re b

et l’on vérifie de cette manière que la série est convergente, si le module de £ est inférieur au module de

m'! æn—1

212. L'emploi de la formule de Lagrange est souvent avantageux pour obtenir le développement en série des fonctions explicites; j'en présenterai ici deux exemples.

Supposons d’abord qu’on demande de développer en série ordonnée suivant les puissances entières de t la fonction

Vi— tr Et

dans laquelle x désigne une quantité réelle donnée dont le module est inférieur à l’unité.

VTT

Je considérerai à cet effet l'équation du deuxième degré