CHAPITRE IIT
DIGRESSION SUR LA DÉCOMPOSITION DES FRACTIONS RATIONNELLES ET SUR LES SÉRIES RÉCURRENTES.
Théorie de la décomposition des fractions rationnelles en fractions simples.
214. La théorie de la décomposition des fractions rationnelles est siimportante, et ses applications dans l'Analyse mathématique sont tellement variées, que je crois utile de la présenter ici avec tous les développements qu'elle comporte.
Nous commencerons par établir qu'une fraction ra- F(.r) fx) quelconques premiers entre eux, est décomposable en
tionnelle
dont les deux termes sont des polynômes
une partie entière (qui peut être nulle), et en plusieurs fractions simples à numérateurs constants, ayant pour | dénominateurs les diverses puissances des facteurs linéaires qui divisent le polynôme f(x). Nous démontrerons ensuite qu’une fraction rationnelle n’est décomposable ainsi que d’une seule manière, et nous indiquerons enfin le moyen d'effectuer la décomposition.
215. Tuéoriue 1. — S1 a désigne une racine de l’équation f(x) = 0, à son degre de multiplicité, en sorte que l’on ait
AC — (Æ —- a) fi AC
Jfilx) étant un polynôme non divisible par x— a, la
toujours étre décomposée en deux parties de la manière
fraction rationnelle supposée irréductible; pourra
suivante :
FE À F,(x) 1 ee \æ He a—1 { ?
TA) (x — a) (x—a) 1 f(x)
À étant une constante, et F, (x) un polynôme entier.
En effet, on a identiquement, quel que soit À,
F(x) F(x) A | Fe) =A Ale) f(x) (x—a) f(x) (xæ—a)" (x— a) f(x)
et, pour que le deuxième terme du second membre ne contienne à son dénominateur que la puissance æ—1 du facteur x— a, il faut et il suffit que le numérateur F(x) — A fix) s’annule pour x — a. Posons donc
F(a)— Af(a) —=o, on aura rare ep cetie valeur de À sera finie et différente de zéro, puisque fi(a)etF (a) ne sont pas nuls ; si l’on fait alors Fiz)—Afi(x)={(x—a)F(x), on aura F(r) Me A Et F,(x) N Fa a a) fe)
ce qu'il fallait démontrer.
Conot.LAiRE. — Si l'on a fir)={(r—- a) (x —0b},...(x— 0h,
a, b,..., l'étant des quantités distinctes et a, 6,..., À
SECTION II. — CHAPITRE III. 487 es entiers positifs, la fraction rationnelle la) pourra TL étre deécomposée de la manière suivante :
F(x) pe À sr À; kid sf Aer (x) (æ— a) (æ—a)-1 RES B B, B:- —- Rs ne M no =
PE. , BB, ...,-L, LL; 7: Crant dés constantes finies, et E (x) une fonction entière.
En effet, en posant comme précédemment
f(x) =(e— ef (x),
on a, par notre théorème,
2e A RE 9 4 EU œ—aPA(e) (ap ‘(aa file) Fi(x) A; Fix)
Ta A (x) [rat fa) Ar)
Fe: (x) He tte F,fx) saillie CN
A,A,,... À,, étant des constantes finies et déterminées, etF,(x), F;:(x), .…., F,(x) des fonctions entières. Il faut remarquer que la constante À n’est jamais égale à zéro, mais les quantités A,, A:, ..., À,, peuvent être nulles, car l’un des polynômes F,{x), F: (x}, .… peut être divisible par x—a; en ajoutant les égalités qui précèdent, 1l vient
Fix) — F(x) — A SE À; ie FA A mn: Falr) f(x) (æ—a)"fi(z) (x—a Ne er 7 Jila}.
S1 l’on pose
filz)= (x — 0x),
‘ é Ent et que l’on opère sur la fraction url comme nous ve- à 11% 4 ‘ F{x) . . is nons de le faire sur are on obtiendra une expression | (æ \ de la forme À —— Fe (æ) B B: is se Bo Fare(æ) bed) (e—6f (eo kr THE el, par suite, # RES NET FA CAS Fe) ap tape TEE B B, Be; Fo+e (x) RSA OU SRS Air Ets je + HT, (x —bi$ Per STE DU x — 0 Jfalx) B, B,, ..… étant des constantes déterminées et F,,4(x)
une fonction entière.
En continuant ainsi, on obtiendra évidemment la for-
mule qu'il s'agissait d'établir.
216. Taéorëme Il. — Une fraction rationnelle n'est deécomposable que d’une seule manière en une partie
entière et en fractions simples.
Supposons qu’on ait trouvé
même fraction rationnelle 7
ces deux valeurs d’une
J\x) A Re (æ— a} + ,,. + (UT PE (TZ) et A’ B' (a — on TU me (er Œr b 5 Er) x 24 (x);
on aura
A A ne ne A)
Cela posé, & et &/ étant respectivement les exposants des plus hautes puissances de x — «a, dans les deux membres,
je dis que «= à’ et À — À’. Supposons, en effet, que
æ et æ soient inégaux et que & soit >; tirons de
l'équation précédente la valeur de - — , et réduisons (T — a }®
tous les autres termes au même dénominateur; on aura
ou.
o et Ÿ désignant des polynômes dont le second n’est pas divisible par x — a. D'ailleurs, À est une constante; il faut donc qu’elle soit nulle, car l’équation précédente donne À — o pour x —a. Si donc À n’est pas nul, on ne peut supposer a >> «’, et l’on ferait voir de même que, si A’ n’est pas nul, on ne peut supposer non plus a <[«/; on a donc & = o!.
Je dis maintenant que À — A’; en effet, de la for-
; ; de 2 F(mule qui exprime l'égalité des deux valeurs de # ; T on tirera, & étant égal à «, À — A’ p(r)
® etŸ étant, comme précédemment, des polynômes dont le second n’est pas divisible par x — a; la différence A—A' est donc nulle, car, pour x = a, le second membre de la formule précédente se réduit à zéro.
Les termes quirenferment la plus haute puissance de x— aen dénominateur, dansles deux valeurs de la fraction rationnelle, étant égaux entre eux, on pourra les supprimer et les deux restes seront égaux. En raisonnant de même sur ces deux restes, on voit que les termes qui contiennent en dénominateur la plus haute puissance du même binôme x — a, ou d’un autre binôme, sont aussi égaux entre eux; et, en continuant ainsi, On reconnaît F(x) Ft) égales chacune à chacune : il en résulte, par conséquent, l'égalité des parties entières E(x) et E(x).
que les fractions simples des deux valeurs de sont
CoroLLaire. — La partie entière qui figure dans la F(x) 7x) fractions simples est égale au quotient entier de la di-
vision de F(x) par f(x).
valeur d ‘une fraction rationnelle
décomposée en
Car, si l’on désigne par E(x) le quotient et par g(x) le reste de cette division, on aura
Fix) p(x) — Lin False AN Fret le numérateur de la fraction ee étant de degréinférieur
au dénominateur, cette fraction s’annule pourx=® , et en conséquente elle re peut renfermer de partie entière.
Cas d’une fraction rationnelle dont le denominateur n'a que des facteurs simples.
