AU À

ar 17)

r l - A ta} 4 d AURONT If CT UN LANTA EU AE TE

ae. PE)

conformément au théorème I. Si l’on multiplie cette formule par f(x) et qu’on remplace x par a+ h, on aura fia+h)

h / : | AREA ESS CEE HAE, (a+)

F hi Ge SP | be me pe L or on à ! \ Fe—1 u He + + AA FT AGE

Fia+k)="#F(a) +4 rosier

SIG) RE PE RS Ru Tr 12 ne

et, en portant ces valeurs dans la formule précédente, on obtient (a) Fa (a

F{a) + D RE RE 1.2..,{xœ—1)

= af 4 |

safe el ns CES

Cette formule a lieu quel que soit, et si l’on égale de part ct d’autre les coefficients des mêmes puissances de k,

jusqu’à celles de degré æ—1, on aura

Re MD œ a+ 1 F' F FC RAD pe a NUE 7 M Ce 1.2...(x+1) l lo (2 \ a+1 a +2 4 DCE OT en ADN 1.2... (x+1) 1.2, la jrs x a+1 © a—1 Fe-i A MA PAST Re 7 AIN La PENSE 12e 1.2... (&æ+1) 1.2...(2x—1) 1.2...(c#

SECTION 11. — CHAPITRE Ill. 495

Ces relations permettent de calculer successivement À, A,,..., À,,, et les valeurs de ces coefficients seront finies et déterminées, car f*(a) est, par hypothèse, différente de zéro. On peut obtenir par ce procédé les fractions simples qui répondent aux diverses racines de l'équation f(x) —o; quant à la partie entière, on la trouvera, comme nous l’avons déjà dit, en divisant F(x)

par f(x).

220. Enfin, on peut effectuer la décomposition par un procédé qui n’exige que la division algébrique. En effet si l’on pose, comme nous l’avons fait plus haut,

fa) = (e—a)A(e),

et que l’on écrive a+h au lieu de x, la formule (1) du numéro précédent, multipliée par A, deviendra

F(a+h) °F (a+) Fe Eee A+A k À k? . A Lt —+- PLANTE COR dre file +à) RC É T PAPE

et l’on voit que le polynôme A + A, + A, /? —-,, NN

est le quotient que l’on obtient quand on divise l’un par l’autre les polynômes F(a+h) et fi(a+ h) ordonnés par rapport aux puissances croissantes de k, jusqu’à ce qu'on soit parvenu à un reste du degré &; on obtiendra donc, par cette division, les fractions simples qui se rapportent à la racine a.

On pourrait déterminer ainsi, indépendamment les unes des autres, les fractions qui se rapportent aux diverses racines, mais 1l sera plus simple d'appliquer la Fa(x) f(x)

déjà trouvés; on obtiendra ainsi les termes qui se rap-

même méthode à la fraction qui complète lestermes

portent à une deuxième racine, et une troisième fraction sur laquelle on continuera l'opération.

221. La méthode précédente a surtoutl’avantage defaire connaître l'expression algébrique des numérateurs des diverses fractions simples dans lesquelles se décompose la fraction rationnelle proposée. En effet, la division des polynômes F(a+ h) et fi(a+h), que nous avons effectuée dans le but d’obtenir les coefficients A, A,, As, ..…,

Fla+)

revient évidemment à développer la fonction = PP fila +)

en série ordonnée suivant les puissances croissantes de h; et, comme une fonction n’est développable que d’une seule manière en une série de celte espèce, on obtiendra le même résultat en faisant usage de la formule de Maclaurin. S1 donc on pose

F(x DER Ji\æ) on aura F(a+h) g”{a) - PAR y lait Hola) A0 (a) AATRSENEENSSS PE A 1) = y (a) + X y'{a) mn a—1 a) —+ A1 Re. + X° AR . CS ]

en désignant par A*R, le reste de la série; ici R, est une fonction rationnelle de À qui n'est point infinie pour

: Fa + h=— 0, et, par conséquent, cette valeur de FU) es (ae +4)

identique à celle trouvée précédemment. On aura done

d’où résulte ce théorème général.

SECTION IT. — CHAPITRE II. 497 Tnéonkme. — St l'on a fla)=(r—-a)}(x— 0). ..(æ—1)}, que F(x) désigne une fonction entière de x, dont le

quotient par f(x) soit E (x), et que l’on fasse, pour abréger,

MS: ut) : F(æ) HIT) fix) A pr ed FT 3 vees \ FANS TEE f(x) onaurala valeur suivantede lajracnorrationnenlers j + 4 Liz Emi Re, es our (æ—a) (r—a) 1.2 (x — a)? 1.2... (œ —1)(x—a (b (6) 4e 51 (6 CRE 10) “ICS ME A0 — bd) (x — bd) a: 1.2(x — bd) 2 1.2... (6 —1)(z—0 o{l bi s'{/) as" {l) AGE LAS 11) Ce inona (xt, ,, 1240041)

Forme nouvelle de l'expression d’une fonction rationnelle décomposée en fractions simples.

999, Le résultat qui précède est susceptüble d’une autre forme très-simple et très-élégante que nous allons faire connaître. Désignons par F(x) une fonction rationnelle quelconque, par

S. — Alg, sup., L 52

ec par Mis Ma, ce, My

les degrés de multiplicité respectifs de ces racines. Soit aussi, pour abréger,

p (x) désignant une fonction qui a une valeur finie diffé- TENTE US ATP ONDES Le

Si l’on imagine que la fonction rationnelle F (x) soit décomposée en fractions simples, la somme des fractions relatives à la racine x, sera

M PAL Les AU Na

aan i(e— mnt AMI (as) | pins (x) pu 1.2...(m—i—1)(x—x,)#t BRNATT 1.2...(M—a1) (zx)

ainsi qu’on l’a vu plus haut. Par suite, cette somme s’obtiendra en faisant { — o dans l’expression

plait) g'(æs ne) 1:

(Æ — Tr; — €)" I AE — ri — eV is. … RS RE T Ed LL PL (ai + €) es (ma—i—i (rai — 6) 7 1.2... (m—i)(x — x — 6)

Or g'(xi +), g’(x1 +Ü), .…. peuvent être considérées comme les dérivées de (x; + €) par rapport à la variable &, et alors 1l est aisé de voir que l’expression précédente se réduit à

d'a! pli + €) RL M re 2 ln à T(/n;) Hé) :

F'(p) désigne, com:ne au n° 196, le produit des p—1 premiers nombres si p est plus grand que 1, etil doit se ré-

duire à l’unité DOUÉ

SECTION II. — CHAPITRE III. 499 Comme on a piri+t)—=Ëé"mF(a +6), la somme des fractions simples relatives à la racine x,

sera égale à la valeur que prend, pour {= 0, l’expression suivante :

dmi—1 CF Li + €) I TC — Xi —

Si donc la fonction rationnelle F (x) ne contient pas de partie entière, on aura mes PM (1 +)

NT rase ET HS F(a =D rt ACT x Dans cette formule, il faut faire { = o, après les difré-

rentiations ; le signe sommatoire Ÿ s'étend à toutes les

racines L4, Lo, -.., Xe Il est presque superflu d’ajouter que, si le degré de multuplicité d’une racine, de x, par S CHF (2e PC)

LL — Li — .

délai doit

d'i—1 exemple, est égal à 1, la dérivée MCE rx, 0):

être réduite à ARTE ZX — Xi — Si la fonction F (x) contient une partie entière E (x),

jm" (ai+t)

DIR ep!

il estaisé de trouver la valeur de E{x). Désignons par n l'excès du degré du numérateur de F(x) sur celui du dénominateur; » sera le degré de E{x). Cela posé, si l’on

Li , o , f . change x en — dans l'équation précédente et qu'on mul-

tiplie ensuite, de part et d'autre, par z”, on aura

my—1 CF (æ M 6, n Es — 7h a EN, 5 LIT TEE ne (: | TE (2) F4 T'(m;) dell

: ; 4 I pu?

Il s'ensuit que, si l’on développe "F (2) en série or- Z donnée suivant les puissances croissantes de z, la somme k 1 des termes dont le degré ne surpasse pas 7 sera zE (:) .

Or, { désignant toujours un infiniment petit, on a, par la formule de Maclaurin,

I I IC F a ds aur(e) 4 (:) 2 CS

FT LL) Re ep h Ir ne: RENE z F(=)=+ MERS s de +- TA de Hide:

donc on a + er) nE G rapli LRU RICE las PORT ne É cs ME 0 e I d& M dé"

et, par suite,

1° 1 dir En 2vn ré Ex) Le xCnE gs )+ers ærr() eu ee rCÉUEETS Ë ù dé Ra) dé?

1 ee PL)

LDC dé

On peut trouver une autre expression plus simple du polynôme E(x). En effet, le coefficient de &2=' dans le

( I k R développement de {7F (=) , Suivant les puissances crois- \ santes de {, est égal au coefficient de /” dansle dévelop-

É I . me pement de SH d’ailleurs ces coefficients sont les

SECTION II. — CHAPITRE III. bol valeurs que prennent, pour & — o, les deux quantités

, 1 RSA d—i n ( nyn+l 1 I 4 3) I LA KE .

DR are) ? Tfr Hi) der

donc on a, pour é — 0,

; I : I d?—! vn F 2 d? Pn+!t F (:) Ce RÉ UE A

T(n—i+i1) déni core den d

D'après cela, la valeur précédente de E(x) devient er (s) (1+ Gr + Fr +... +érrt) E(x) ep EN CE RES TR RER EE EEE :

7 T(a+i) dé” enfin, comme on a évidemment, pour £ — 0, et pour

dnen+tF (= er (T)

dé” 0:

on peut aussi écrire

are r(s) (1H Er + er +. Herr Rent gti

rer 1) ch dir ou ee F à : d' "A . E(x) NE PRE RER RE,

T(r+i) dé?

On a donc la formule suivante qui donne la valeur d’une fonction rationnelle quelconque F(x) décomposée en

une partie entière et en fractions simples, savoir :

nF|[d? ; (;) d'i—1 7 F(x, nr €) ca I I— Cr I TI — Xi —Ù F(x) = L'(z Te 1) den DCS déma—1 7

la quantité € devant être égalée à zéro après les différentiations.

Mode particulier de décomposition pour les fractions rationnelles et réelles dont le dénominateur a des facteurs linéaires imaginaires.

223. La théorie que nous venons d’exposer s'applique F(x) F(æ

peuvent avoir des valeurs quelconques réelles ou IMa91-

à toutes les fractions rationnelles . et les coefficients

naires. Mais, lorsque ces coefficients sont réels et que parmi les racines de l’équation f(x) — oil s'en trouve quelques-unes qui sont imaginaires, l'expression de la HZ) Ftæ)

naires. On a cherché à modifier, dans ce cas, la manière

fonction réelle

est elle-même compliquée d’imagi-

d'effectuer la décomposition, et l’on y est parvenu comme nous allons l'indiquer.

294. La possibilité du nouveau mode de décomposition que nous avons en vue résulte du théorème suivant :

TaéorÈme L. — Si x? + px + q est le produit de deux Jacteurs imaginaires conjugués du polynôme réel f(x), n la plus haute puissance de ce trinôme qui divise f (x), el SOrte qu on ait

Fr) = (apr Er ae,

{ | 4 F(zr à , la fraction réelle et rationnelle (>) pourra étre dé- #7 in composée en deux parties, de la manière suivante : te) Px + Q he Fitx)