AE D'ART
2? + px + q FE)
P, Q, P,, Q,, ... désignant des constantes réelles, et F,(x) un polynôme réel aussi.
225. En combinant le théorème précédent avec le théorème analogue démontré au n° 215, on obtient celui-ci :
THéorÈme Il. -— S1 l’on décompose le polynôme HSE) en facteurs réels du premier et du deuxième degré, en sorte qu'on ait
f\x)=(x—a) (x—b)$ vs (æ—1)} (x?+pr+q)".…. (e?+rx+s)",
F(x) se Fe)
on pourra décomposer la fraction rationnelle
SECTION II. — CHAPITRE III. 5ob
la manière suivante :
A A PES —E(x) + D ou a om (rx — a) (x — a)! x— a DONC AR TaR TETE" D 0 7e vo »s s + Wire ere tr lemeP ere Pun area roletate .. L fl L.
M Ge ep 27 Pz + Q ca Pix +Q: Prix HQE (a? + px + q)" (a? + pr +q}t TT a +pr+q Rr+sS Rir +S, Ry17 + Sn 1
ÉrS + rx +s)" (rs rx (jh LHrr +S$ Ô
E(x) désignant une partie entière qui peut étre nulle, et PE ONE OR RES, 8
des constantes reelles.
9296. Taéorime Ill. — Une fraction rationnelle n'est décomposable que d ‘une seule manière en fractions simples de la forme qu'on vient de considérer.
Soient deux valeurs d’une même fraction rationnelle F(x) 7(n)
fractions simples qui correspondent aux facteurs du pre-
+ On démontrera, comme au n° 216, l'égalité des ? ?
mier degré du dénominateur, et quant à celle des fractions simples qui correspondent aux facteurs du second degré, elle peut se démontrer d’une manière analogue, le terme dont le dénominateur contient la plus haute puissance
PA
de x?+ px + q dans la première valeur de ——; et
f(x) P'’ x AE Q’
——— le terme analogue dans la seconde valeur. (x? + pr + q)"
Je dis d'abord que x — 7. Supposons, en effet, que
comme nous allons voir. Soient
cela ne soit pas, et que l’on ait 7 > 7’: de légalité qui a s Ft lieu entre les deux valeurs de (z)
fx)
Pr<+ Q \ | DAS (+pr+g) cette valeur sera exprimée par une somme
de quantités dont aucune n’a en dénominateur une puissance de x? + px + q supérieure à la (7 — 1)". En réduisant donc toutes ces quantités au même dénominateur, on aura une égalité de la forme
tirons la valeur de
Pz + Q 1% o(x) (a+ pe+qg} (+ pr + q)" 4x) ou æ) Pr +Q—={(2x + pr + e( , En rCR ee
p(x) et d(x) désignant des polynômes, dont le second d(x) n'est pas divisible par x? + px + q. Or l'égalité précédente est impossible; car, autrement, l'équation Px + Q = o devrait admettre les deux racines de l’équation x? + px + 4 — 0, ce qui ne peut arriver, à moins que P et Q ne soient nuls en même temps, contrairement à l'hypothèse. On ne peut donc supposer 7 > n'ni n'>n, pour une raison semblable; par conséquent, on AVE 11.
Je dis maintenant que l’on a aussi P'= P, Q'= Q.Reprenons, en effet, l'égalité qui a lieu par hypothèse entre
les deux valeurs de Fa mettons dans un même membre 1 u les deux termes — Hate - et REINE et dans (+pr+g} (e+px+q) le second membre tous les autres termes dont les dénominateurs ne contiendront aucune puissance de x?+ px + q supérieure à la (7 — 1)"; réduisant tous ces derniers termes au même dénominateur, on aura une égalité de
D PR EAN RU ES UT ND LR en UT k J A A5" AT « : ! hs ane r æ \ . Te D :
Len
SECTION IT. — CHAPITRE IIT. 507 cette forme (PP P'}xr + (Q — Q') 7 p(æ) È (é+pe+g) (a? + pr + q)" 4 (x) ou , o(xr (P—Phr+(Q—@)= (a+ pr +g) 20
p(x)etŸ(x) désignant, comme précédemment, des polynômes dont le second n’est pas divisible par x? + px +4, et l’on fera voir aussi, comme plus haut, que cette égalité exige PANDA OE 07 Il suit de là que, dans les deux valeurs de —— pe sh les termes
