L'une des applications les plus importantes de

la théorie qui vient d’être exposée est l'intégration des différentielles rationnelles. Nous n’avons point à nous

occuper ici des détails de cette intégration, et nous nous bornerons à donner les conditions pour qu'une différentielle rationnelle ait une intégrale algébrique.

Soit une différentielle rationnelle

FAET |

dx

et S{r}= (x — a)" (æ — AE (x — SE

a, b,..., l étant des quantités réelles ou imaginaires;

à Ex on mettra la fraction Fo sous la forme > a Rs is) / ( — a) (æ aol TEA B B; ha de Be- ; OPEN RAT T7 (æ— 1} Le Let + TE F(x)

Pour avoir l'intégrale de dx, il faut multiplier par

dx chaque terme de cette valeur de Eh

tous les résultats. Or les seuls, parmi ces résultats, dont

et intégrer

l'intégrale n’est pas algébrique sont ceux qui ont pour dénominateur la première puissance de l’un des binômes Lt T—b,..

On a en effet, si & n’est pas égal à r,

Adr A ue : LATE NT ER ee C SC, (rx — a)" (ga —1)(x—a)"—1 Re

et, Six —1I,

Ar ; — — = Alog(zx — a) — const, TX -—

D OVER PRET EE PEER EE RE A NE PSS ee TR DT DS Le os, La" 1" RP RO PER SE EN EP OS ' ee RE LE AE NE PSE

Donc, pour que ie) dx ait une intégrale algébrique, il

ft)

faut et 1l suffit que, dans le développement de re en

fractions simples, il n’y ait aucun terme dont le dénominateur soit du premier degré, c’est-à-dire que l’on ait

AA ps O, Be-, —= O, Ge — O, 0e

Cela exige d’abord que le polynôme f (x) ne contienne aucun facteur linéaire simple. Nous avons vu, au n° 221, qu'en posant

AE REP ER A Re RES. DS es dr)=te et 4a)= (20) 70, on à Doi RATE MES Bs, — A | 4 Lee

TCÉRENTrE 1.2...(6—1)

les conditions pour que IE dx soit algébrique sont donc

pla) 0, VENTRE Oo ee EE

quelles que soient les quantités a, b, ..., c, réelles ou imaginaires. |

Ces conditions sont en même nombre que les racines a, b,..., l; mais, si le degré de F(x) est inférieur de deux unités au moins à celui de f(x), l’une d’elles sera comprise dans les autres. Désignons, en effet, par m le degré de f(x), et supposons que F{x) soit au plus du

, : Je F degré mn — 2; la partie entière E(x) de 7e T et, si l’on réduit au même dénominateur toutes les fractions simples, pour les ajouter et recomposer la fraction E(r) f(&)

sera nulle,

on voit sans peine que le numérateur de la frac-

ai Er.

SECTION II. — CHAPITRE III. Sir

tion ainsi obtenue contiendra x”-1 avec le coefficient AE —- Be, —+- .... —+- LT

Ce coefficient doit être nul, puisque F(x) est du degré m — 2 au plus; on a donc

a—1 6—1 b 1—1 ! 7\ ile) V8) sul) Dar) 1.2:.,(6—1) 1.2...(} —1)

et, par conséquent, l’une des conditions pour que F(x , a [FE dx soit algébrique rentrera dans les autres. T

L'équation précédente comprend, comme cas particulier, une formule que nous avons établie au n° 217.

Application à un problème de Géométrie.

229. Comme application des considérations que nous venons de présenter, je traiterai 101 succinctement un cas particulier d’un problème dont j'ai donné la solution

générale dans le XX XV° Cahier du Journal de l’ Ecole

Polytechnique, et dont voici l’énoncé :

ProszÈme. — 7rouver toutes les courbes algébriques dont l'arc indéfini s'exprime par un arc de cercle, et dont les coordonnées rectilignes sont des fonctions rationnelles de la tangente trigonométrique de cet arc.

Si l’on désigne par £ l'imaginaire ÿ— 1, par # une quantité positive, et par © un angle réel, puis que l’on fasse

t—=(z— ARMES (3 — b}r+l AE) Lie POSER {

JR 6)P+1 U

x ph. à APR (

RE IrR

LU

. QX | a et æ& étant des constantes imaginaires et conjuguées,

UP et Oo crely; let, 7, Dhg,+-vétant des entiers posiufs, la solution générale du problènie proposé

bio COURS D'ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

sera donnée par la formule Ag "a (z va LIT (1) r+ ir k(cose + isine) | F Pente dz

pourvu que les constantes a, b, ©, ..., à, 6, y, ... soientchoisies de manière que l'intégrale qui figure dans la formule précédente soit algébrique. On a effectivement

k t dr + idy = À (cosw + isinw) - T:

et, en changeant 1 en —1,

. qi dx — idy — k (cosw — isine) F

La multiplication des formules précédentes donne

42 dz? TA ET EURE Re dz (+1) d'où Ve + dy? — k —

dx? + dy? — SR 7 T 1+ 2?

et

x Vax? + dy? = k arc tangz.

Comme le degré du numérateur de la fraction trie est inférieur de deux unités au degré du dé- T (z à LUE S nominateur, si u désigne le nombre des constantes a, b, C,-.., Ou &, 6, y, ..., il suffira de satisfaire à u—1 conditions pour rendre algébrique l'expression de x + 1Y.

Lorsque t et 7 se réduisent à l'unité, notre formule ne donne pas d’autre courbe que le cercle; le cas le plus simple est donc celui dans lequel on a |

= (2 — a) re = 2 RQ \la formule (1) devient alors

(2) Eros cod 2 = Æ(cosu + ésine) PERS Z9

ét une seule condition suffira pour que l'intégrale soit

algébrique. Pour trouver cette condition de la manière la plus simple, soit u une nouvelle variable et posons 3 — à a — à

ae VA Zz +2 a+

Faisons aussi, pour abréger,

(3 = ne, aa pi) on aura d Le F sa Re 7 (z +i)? hAdtET er (z—i)"dz Pa IN I meuler tie puis net EE

— e Zz— a a+iu—$û

D'après cela, la formule (2) devient

FE — 1)"# du x + ii) —=AÀ RÉ RE NE ME

(au et Gare

en faisant, pour abréger,