I : ASE 241 /a—i\mt+i À — — k(cosw + isino

Qc x +i a + i

On voit alors que la condition pour que x +17 soit algé-

brique est d’ om ka ms hÿ lea (4) derrme ed

Cette équation en £ est du degré m + 1; elle a une racine égale à 1, et, si x est inférieur à m, elle a m—n racines nulles ; le nombre des racines différentes de o et de 1 est donc égal au plus petit des nombres m et n; on reconnaît que toutes çes racines sont réelles, inégales et

S.— Alg, sup., À. 3

5r4 COURS D'ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

comprises entre o et 1, en appliquant » fois de suite le théorème de Rolle à l'équation

pre Ds x Has 0,

qui am racines nulles et 7 + 1 racines égales à r. Les racines nulles de l'équation (4) ne peuvent nous convenir, car, pour é — 0, la formule (3) donne a——ùi ou a = +1; mais l’une de ces équations entraîne l’autre, puisque & et « sont conjuguées; les facteurs z — a, z— a deviennent z +i, z—1; par suite on retombe sur le cas où les polynômes t et 7 se réduisent à l'unité. Pour £ =1 l'équation (3) donne a — «, et la formule (2) se réduit encore à celle que donne l'hypothèse t = 7 —:

Mais à chacune des racines € comprises entre o et 1 répondent, pour a et «, des valeurs imaginaires et conjuguées l’une de l’autre, Remarquons d’abord qu’on peut supposer

(5) (4 rh 1

sans diminuer la généralité de la solution, car on ramènera le cas contraire à celui-là par un changement de va-

. A £ Z riable. Il suffira effectivement d’écrire LE

€ : au lieu de z, ? » 7 = en prenant pour € l’une des racines de 1 équation

a +a +2 —#—1—0; ax —I par la transformation dont il vient d’être question la formule (2) devient x + iy = A(cosw + à sine) [ !

2 = 4 We (z — AR

Z—0u Ni: (z me LEE a, et «, ayant les valeurs suivantes :

a — € %œ—E€ rss) Ur = see) 1 + 4€ I1+ &e

d’où l’on conclut a, «, —1. On peut donc admettre l’équation (5) et de cette équation combinée avec (3) on tire alors

2Û6 1—6, a — — t, 1+È ie re pie 2 VE Lars