Taécaëme I. — Les réduites étant supposées for

F r à \ 4 F , 1% | del à r

mées d’après la règle précédente, et 5. désignant ge-

néralement la réduite de rang n+Ii,0n a PQ — QhPr— (— 112 En effet, soit a,, le n°è7e quotient incomplet, on aura P,= Pr an it Pro Qu = Quart 0re;

si l’on ajoute ces égalités après avoir multiplié la première par Q,-, et la seconde par — P,,, 1 viendra

(Pr Qh-1 — Q»Pr1 ) Tant (ha Or Q1 pa

ce qui montre que la quantité te nie (Pr Qn-1 — Q» PE)

a la même valeur, quel que soit 2; mais cette quantité

est égale à 1 quand nn —1, car Q—=0o et Q,=Po=t; donc elle est égale à r, quel que soit 7.

CorozLaire [. — Zes nombres P, et Q, sont pre-

| 1 Pr : 1540 ne miers entre eux, et en consequence la fraction Q, est 1rnm

reéeductible.

L'égalité qu’on vient d'établir prouve effectivement que les nombres P, et Q, ne peuvent avoir aucun diviseur commun autre que l’unité. C’est en raison de cette propriété que l’on a donné le nom de réduites aux frac-

oo, Corozzarre Il. — Za différence entre deux réduites consecutives est égale à une fraction qui a pour nume-

rateur l'unité, et pour dénominateur le produit des dénominateurs des deux réduites.

tions

En effet, si l’on divise par le produit Q,Q,; l’éga-

lité qui fait l’objet du précédent théorème, 1l vient

Pr Le Pr ue (—1}" (UE Q;= La Q» 024

4. Taéorème Il. — Si l’on réduit une quantité quelconque x en fraction continue et que l’on forme les réduites successives, la valeur de x sera toujours comprise entre deux réduites consécutives et chaque réduite approchera plus de x que la réduite précédente.

— P , / & En effet, — étant la réduite de rang n +1 et x, le mn

quotient complet correspondant, on a

PEER Porn + Pr Qutn qi Re Qu

Si l’on résout cette équation par rapport à x, on trouve

ES W 6 ——— Qi ET Pr d’oi Qz Qu Tp = ————— 3 où Ln = ———>—° n'a 0e Gr Pr 3 Q:

o . , pisse Cette formule montre : 1° que les différences x — n—1

Ps À 4 ? er , et 6, — x sont de même signe, d’où il résulte que x est

S x) nm

P comprise CAtre ee et —; 2° que la valeur absolue de la

mr (EN seconde différence est moindre que la valeur absolue de la première, car les quantités Qn et Zn, dont le produit n—1 |

forme le premier membre de la formule précédente, sont l’une et l’autre supérieures à l’unité.

5. Taéorëme III. — 91 l’on réduit une quantité quelconque x en fraction continue, la différence entre une réduite quelconque et la valeur de x sera moindre qu'une fraction ayant pour numérateur l'unité et pour dénominateur le produit des dénominateurs de la réduite considérée et de la réduite suivante.

En effet, d’après le 1ÉOtEnS IT, x est comprise entre

2 F i les deux réduites —-— RE —; par conséquent, la différence 02 G.° pe P2 entre x et —— 6, l'est moindre que la différence entre ©. n—1 #æ

et ; mais, d’après le théorème Î {corollaire IT), cette

( adrta 1)£ no;

par 0 une quantité comprise entre zéro et l’unité, on

dernière différence est égale à ; Si donc on désigne

pourra écrire

SECTION I, — CHAPITRE le 1>

Comme Q, est supérieur à Q,;,, on a aussi

Pt 4 0 () — = (— 1 ou æx—P,,=(—1) GE ) LA Qr 14 > LU ,

0 désignant encore une quantité comprise entre zéro et 1, mais qui n'a pas 1c1 la même valeur que dans la précédente égalité.

Cette dernière formule exprime que, si l’on prend une réduite quelconque pour valeur approchée de la quantite x, l'erreur commise sera moindre que l'unité divisée par le carré du dénominateur de la réduite.

REMARQUE. — On peut encore démontrer le précédent théorème en partant de la valeur de x exprimée en fonction du quotient complet x,. On retrouve par ce moyen la limite supérieure que nous venons d’assigner à la dif-

- | : 2 férence (—1)" (2 Esprart | et l’on obtienten même temps

Vert

une limite inférieure de la même différence. Cette der-

mière limite a moins d'importance que l’autre, mais elle

mérite cependant d’être mentionnée. On a

À Pr ss Porn OUR Xe: Pr ss (12072 —Q, Pis) Qh1 0x, + Q2e Q, (4 cer (Q, Tn + O2 ]

ou, d’après le théorème I,

Pons ans Qn=+ 075 le œE — Qi)

Or x} est compris entre 1 et w ; donc la différence

8 Er

x est comprise entre

rot ©2102

(— nie É Qh-1 (Qu + O1)

CoroLLaire. — $1 la quantité x est irrationnelle, on pourra toujours former une réduite qui différera de x d’une quantité plus petite qu'une quantité donnée €.

En effet, pour être assuré que la différence entre x

TD mm À

et la réduite est inférieure à €, il suffit que l’on ait

Q; Ve et, puisque les nombres entiers Q,,Q:,Q3, ... croissent sans limite, on voit que l'inégalité précédente sera véri-

fiée si l’on prend une valeur de x suffisamment grande,

è DAT , . P , I CE 6. La première réduite — étant - ou , et la deuxième 0 O

P r # \ : ’ o. étant égale à a on voit qu'on peut énoncer la propo-

sition suivante, qui résume les résultats principaux que nous avons obtenus:

Lorsqu'on réduit une quantité quelconque x en fraction continue, les réduites de rang pair, toutes inférieures à x, forment une suite croissante, tandis que les réduites de rang impair, toutes supérieures à x, forment une suite décroissante. Ces deux suites se terminent quand x est un nombre rationnel ; mais, dans le cas contraire, elles sont illimitées et les réduites de chacune d'elles convergent vers la valeur de x dont elles se rapprochent indéfiniment.

C’est en raison de cette propriété que les réduites ont reçu le nom de fractions convergentes. On voit que, si a di, 42, @3, - . . désignent les quotients incomplets obtenus dans la réduction de x en fraction continue, il est permis

SECTION I. — CHAPITRE I, Tr

d'écrire