RAR TE

en donnant à a et à & ces valeurs, dans la formule (2), l'expression de x + iy sera algébrique,

Détermination d’une fonction rationnelle par le moyen des valeurs qui répondent à des valeurs données de la variable.

230. Une fonction entière du degré m de la variable x est entièrement déterminée lorsque l’on connaît les valeurs de cette fonction qui répondent à m +1 valeurs données de x. Quand les valeurs de x dont il s’agit forment une progression arithmétique, la fonction peut être obtenue par la méthode que nous avons exposée au n°156; mais 1l est important d’avoir une formule qui embrasse tous les cas. Cette formule est précisément, comme on va le voir, celle qui a été établie au n° 217, et qui exprime la valeur d’une fraction rationnelle décomposée en fractions simples.

Soient

Det TS PRIOR PE les valeurs d’une fonction entière F(x) du degré m, correspondant aux valeurs données

Lo; T1 Toy CCE) Tr

de la variable x; posons

Fr) = (e— 20) (e — 2)(2— 23)... (e— zu),

516 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE on aura j æ Fe (æ AH) (ete En TC — Ty LT —X: F1 ml /$

et, par conséquent, PEN (rs 0) Cri 2e (ee ea Cela posé, le degré de f(x) surpassant d’une unité celui de F(x), on a (n° 217) EE F (x) L Fi) EF(rbae

nr + use PACA DE LSE 7 J'(21) ZX — J'ATAREER

) D ES CR RS F(: )] — (ro — 23) (To — 2). MES er L (x — r9)(x —2x)...(r — x,,) + 4: CICR PP AREE PE Jr te, (x— xo)(æ — ri)... .(x — xms) s

ps — x) re ee À ) PORC (Cm — Lim )

Cette formule donne la solution de la question proposée : d’ailleurs celle-ci ne peut admettre une autre solution; car, s’il existait une fonction F,(x) du degré m, différente de F(x) et satisfaisant aux conditions du problème, l’équation F;(x)—F(x)=o,

qui est au plus du degré m, admettrait les m + 1 racines Lys Lite Pr Ce QUI CSL PONSLDIE

On peut encore résoudre la même question en raisonnant comme il suit : si les valeurs données wo, u,,...,Um sont toutes nulles à l'exception de l’une d’elles w,, et que celle-ci soit égale à l’unité, il est évident que la fonction demandée est déterminée et a pour valeur

sir fus Ar (au = ne TIER (Tu — Zn}

Cela étant, on aperçoit de suite que, dans le cas général, la solution du problème proposé est donnée par la formule

F(x)= 40 Xo + Xi +. + um Xm

231. Il est souvent plus avantageux de donner à l’expression de la fonction demandée F(x) la forme à laquelle nous avons été conduit au n° 156, dans le cas particulier où les valeurs données de la fonction répondent à des valeurs équidistantes de la variable. On y parvient facilement par la méthode des coefficients indéterminés ; car, si l’on pose

F(x)= A5 + A, (x — zx) + Az — ro) (x — x) + À; (æ — x) (x — x) (Tr —x)+...

+ Ar = te): SP REA

les constantes A5, À,,..., À,, pourront être déterminées

successivement au moyen des équations de condition

U = A, U,y —= À, —+ Ai(x RE AE Ur = A9 + Ai(Zs — to) + Axe — ro) (Zoe — ti),

Lorsque les valeurs données

To; T1; CNCHNCU ; Ln

. forment une progression arithmétique dont la raison

est , on tire immédiatement des équations précédentes

va Au,