DR U LITE TE TE TT

et l’on retrouve la formule du n° 156.

232. La formule du n° 230 n’est qu’un cas particulier d’une autre formule plus générale, que Cauchy a fait connaître dans la Note V de son {nalyse algébrique, qui donne la solution du problème suivant :

ProszÈme. — 77rouver une fonction rationnelle u de la variable x, dont le numérateur et le dénominateur soient des fonctions entières des degrés m et n respectivement, connaissant les m+ n +1 valeurs de u qui repondent à m+ n +1 valeurs données de x.

Il est évident que ce problème ne peut admettre qu'une seule solution; car, si deux fonctions distinctes

F(#), F(e) f\z) … A+) remplissaient l’une et l’autre toutes les conditions de l'énoncé, il est évident que l'équation F(x) f(x) —F(x)f(x) = 0,

qui est au plus du degré m + n, admettrait pour racines les m+n<+1 valeurs données de x, ce qui est impos-

sible.

Cela posé, soient

Uo, Us, Ug, ..., Um+n les valeurs de u qui répondent aux valeurs données de x, Tori arte mr LME

Supposons d’abord que m de ces m+ n valeurs de u soient nulles; que l’on ait, par exemple,

Unyi —O, Uyys —O, ..., Uy+tm — 0;

il est évident que le numérateur de la fonction cherchée sera

A(z A- Zn-+1) (x — Life - (x Ke FLE 24 À

ç ‘ - 27 L Lt ps K La u a, ‘ VA PT

SECTION II. — CHAPITRE III. 519 A étant une constante arbitraire; par suite, le dénomi-

nateur sera égal à

A(E— ne) (2 — Aura). (2 — ann), u

et si l’on donne à x les valeurs successives x5, 41, ... Zn, il prendra les valeurs correspondantes ;

U (Zo En Try) (To Des doial ‘ (To tt none

7 (x: Su La (æ; #<c Tree . D Ceel ci EEE

re (Tr — Tn+1) (Ta Éus Zn+o) - ‘ (en — Ent+m);

on peut donc obtenir l'expression du dénominateur de u par la formule du n° 230, et l’on trouve ainsi

Aie ee Re En nd? O0 Ce 20 A S n+1): ++ (0 n+m) (to — 21) (Xo — 2). ..(æo — *,) À x eue (7 — %) (rte an), LL. (21 — Zn). (ai n+m) ten) (eee) (a À Lx x æ (x — x) (x — x) (z — 1) A n Æn+s) + » - ( n n+m) (x Mas) He en

Alors, en donnant à la constante arbitraire A la valeur

AT, Ut — Up Uj Use. Un (to — Zn). + (To — Tnym)

>< États s

le numérateur de la fonction w sera

(x EE La) (x La Lhsse HO (x EE Tyim)

HAL TAT ET) , ) 0 : [Ex a: Tele Le (T, mr", Tyym)| dd [(x, Ca CHE È (x, pl Lan]

et cette même fonction aura pour dénominateur le terme

(tr —t)(x, —x)..(x, +) (2) UÇU... Us ae CR (ee mnt 7 | . [Tr pr + (En — Zn]

augmenté des 7 termes qu'on en déduit en faisant toutes les permutations des indices 0, 1, 2, ...,n.

L'analyse du cas particulier que nous venons d’examiner nous conduit immédiatement à la solution du cas général. |

Supposons effectivement que les quantités Uo, Uy, ..., Unym S0ient quelconques; faisons dans chacune des expressions (1) et (2) toutes les permutations possibles des m+n<+i1indices

et ajoutons, dans chaque cas, tous les résultats obtenus. La première somme sera le numérateur de la fonction demandée, et la seconde somme sera son dénominateur; on aura ainsi

Be — Le — Lnss)ee (Do — Lomme LE — Las) (En — Aus] 4 LU. .U (mo —z)(r, —2x)...(2,1, — x) ae 0 1°°° n—1 ; .… (Te Fa Z,) LA (x, ET Tyim)] dr a (C2 Tare TL) RE (x, ra Ty)

Rien n’est plus facile que de vérifier ce résultat; faisons en effet x = zx», le numérateur de la formule précédente se réduira au produit de w, par la somme

Le Uisaeul

Î —+- AT [(&o Er Lait } FF PS (æ, RS Lytm] ES AS [Te ax Li: }. LE (t, 22 Tyym)l

où les termes qui suivent le premier se déduisent de ce-

SECTION II. — CHAPITRE III. Sol

lui-ci en faisant toutes les permutations des m+ n indices DAT IR ec D), NTI, MT rev p A 4 4 a =

Or c'est à cette somme que se réduit aussi le dénominateur de u pour x —x,; donc la formule (3) donne U = Un pOur x = X», et, Comme tout estsymétrique par “ins aux indices, on au = u, pour x = x,, quel que soit l'indice pu.

La formule (3) subsiste dans le cas de 7 — 0, pourvu

u 5d Te , L A , ea à ,.

qu on réduise son dénominateur à l'unité; elle coïncide alors avec la formule du n° 230; elle subsiste également dans le cas de m1 — 0, pourvu que l’on remplace le numérateur par uo ui... un.

Dans le cas de m— n—1, la formule (3) donne

727 RL ste TL PRET

E nr — T) (æ, = T) sn (rt, —æx,)(x, — x.) Ne (rx) (r = do), ; LS ZX, — X A TX, — Ha Ti) (2, — +.) (x, — L)(x, Tr) AT} (T, — &)

Des séries récurrentes.