Une série d+ar+ar+a +... +a,rx

ordonnée par rapport aux puissances entières et croissantes de la variable x, est dite récurrente, lorsque, pour toutes les valeurs de » supérieures à une certaine limite, le coefficient de x” peut s'exprimer, quel que soit 7, par une même fonction linéaire des coefficients des puissances inférieures pris en nombre fixe. En d’autres termes, la série que nous considérons sera récurrente, si, pour toutes les valeurs de x qui surpassent une certaine limite, on a identiquement

nm + & An m4 Fe: En An + Em An — O,

+ ri

m étant un entier quelconque, et @o, %1, -.., &m des quantités constantes. La suite de ces quantités

gs Lys +. Am

est ce qu'on nomme l'échelle de relation de la série récurrente.

Cela posé, nous établirons à l'égard de ces séries les deux propositions suivantes :

THÉORÈME Î1. — Lorsqu'une série ordonnée suivant les puissances croissantes de la variable x est à la fois convergente et récurrente, elle a pour somme une fraction rationnelle.

En effet, soient o (x) la somme de la série proposée (x) A) Lar Edtil,. 2} lee

et ps Lys . An

son échelle de relation, en sorte que l’on ait (2) Lo An—m + Li An—mr Hess Am An1 + Am An = O,

pour toutes les valeurs de 72 supérieures à une certaine limite.

Posons

f(x) or Hart... ont tram

et multiplions la série (1) par le polynôme f(x). Chaque terme de ce multiplicateur donnera pour produit une série convergente, et la somme des m1 + 1 séries qui répondent ainsi aux m+1 termes de f(x) sera évidemment une série convergente qui aura pour somme le produit o(x) f(x). Or, en ordonnant cette dernière série suivant les puissances de x, on trouve que le coefficient de.x” est précisément le premier membre de l'identité (2); et, comme ce premier membre est nul,

pour les valeurs de 7 qui surpassent une certaine limite, la série que nous considérons se réduit à un polynôme F (x) composé d’un nombre fini de termes; on a donc

RE de | (=)

d’où

ce qui démontre le théorème énoncé.

Taéorëme Il, — Aéciproquement, toutes les fois qu'une fraction rationnelle peut se développer en une série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de la variable, cette serie est récurrente.

En effet, supposons que la fraction rationnelle

soit développable en une série convergente et que l’on ait

(1) Se a ne

F(x) pour certaines valeurs de la variable x. Soit aussi (2) J(x)= 00 x" + Qi LME Hp + Ame Le produit de la série (1) par le polynôme (2) est une série convergente qui a pour somme le produit f(x) donc, pour toutes les valeurs de 7 qui surpassent une

certaine limite, le coefficient de x” dans le produit dont il s’agit doit se réduire à zéro. Or ce coefficient a pour

valeur Co nm + Xi An-m1 Fee + Emi An—1 + Em An:

donc on a

oh mn + C1 An-mui oc ot Uni An—1 FF Em En —= 0

pour toutes les valeurs de 7, à partir d’une certaine limite; cette condition exprime que la série proposée est récurrente.

234. On peut obtenir de la manière suivante le développement d’une fraction rationnelle en série ordonnée par rapport aux puissances croissantes de la variable. f(x)

fractions simples, et supposons que l’on ait trouvé

QE AIME Te Eh D a

Pour résoudre la question que nous avons en vue, :l suffit de développer en série, par la formule du binôme,

Décomposons la fraction rationnelle donnée en

; - A chacune des fractions simples ————— ou A(x—a)"*. (x — a)* On a ainsi fe a x œæ(a—+1) x? 1 + +.

SLR 14 12 07 tE œfa+i)..(a+n—1) x" :

et, si p, désigne le coefficient de x dans E (x), le terme

général du développement de 7 en série sera n f x œ+1)...(o+ nr —1) ANT fort) = Door = |

Dans le cas particulier où les racines à, .. de f(x) = 0 F{a), fa) 9

sont toutes simples, on a « —1 et À — le terme

général se réduit à

Aïnsi la série récurrente dans laquelle se développe la

fraction aus peut s’obtenir par l’addition de plusieurs f(æ)

séries provenant des développements de diverses puissances négatives etentières des binômes a—x, b—x,..…. D'ailleurs ces séries sont convergentes pour toutes les valeurs de x, dont le module est inférieur au plus petit des modules des quantités a, b, ...; on peut donc énoncer la proposition suivante, qui est un cas particulier d’un théo-

rème de Cauchy relatif au développement des fonctions :

Tuéorème. — Une série provenant du développe- ; , k EFlx

ment d'une fonction rationnelle 7 est conver gente de

pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de x dont le module est inférieur au plus petit module des racines de l'équation f(x) — 0.

ExempLe. — Proposons-nous de former la série récurrente dans laquelle se développe la fonction

P + Qx

MAPS = D ACOD Loc

où P, Q et w désignent des constantes données. Décomposant cette fraction en fractions simples et

employant, comme nous l'avons déjà fait précédemment,

la notation usuelle des exponentielles imaginaires, savoir,

ee V1 — cosw Æ ÿ— 1 sinv,

PR ET LR PT me D 2 A MT ST AR | 1— xe“V—1 1— ze vy—i

A et B étant des constantes qui ont respectivement pour valeurs Pe-14+0Q Le NPE NES

A — —— 2 sinoY—r 2 sin wÿ—1

Développant en série chacune des parties de p(x), on trouve

? (x) = AY 777 — BY ane-nu V1

ou, en remplaçant À et B par leurs valeurs

n=Ÿ (Peut LE Q her T (pe-e V1 + Qhe-ru vi

2 Sino Ur

En remettant à la place des exponentielles imaginaires leurs valeurs, on a, toutes réductions faites,

P + Qx D

I— 27C0S0 + x? Sin w

Le terme général du développement est donc

Ë sin (2 + 1)œ 6 re | ue