APPLICATION A LA THÉORIE DES ÉQUATIONS

Des fonctions alternées.

235. On nomme fonction alternée de plusieurs quantités toute fonction qui change de signe, mais en conservant au signe près la même valeur, lorsqu'on échange deux quelconques de ces quantités entre elles. Nous ne nous occuperons 1c1 que des fonctions alternées rationnelles.

Il résulte de la définition précédente que le carré d'une fonction alternée est une fonction symétrique. = Quand on échange plusieurs quantités entre elles, d’une manière quelconque, on dit que l’on a exécuté sur ces quantités une substitution : la substitution qui a pour objet de remplacer deux quantités l’une par l’autre se nomme transposition. Nous reviendrons avec détails, dans la suite de cet Ouvrage, sur ces importantes notions; pour le moment, il nous suffit de remarquer que toute substitution qui ne se réduit pas à une transposition peut être exécutée par le moyen de plusieurs transpositions successives; car, si, par la substitution dont il s’agit, une certaine quantité a doit venir prendre la place occupée

par la quantité b, on pourra produire ce premier effet

par la simple transposition des lettres a et b; la quantité a occupera ainsi la place qu’on veut lui assigner, et il restera à exécuter une certaine substitution sur les

quantités restantes. On peut appliquer à celle-ci le raisonnement que nous venons de faire et, en continuant ainsi, il est évident qu’on aura exécuté la substitution proposée au moyen de plusieurs transpositions.

Cela posé, soit V une fonction alternée. Une première transposition changera V en — V, une deuxième transposition reproduira la valeur primitive V, et ainsi de suite; on peut donc énoncer la proposition suivante :

Une subsutution qui equivaut à un nombre pair de transpositions ne change pas la valeur d’une fonction alternée V ; au contraire, toute substitution qui équivaut à un nombre impair de transpositions change V en — V.

236. Il est facile de former l'expression générale des fonctions alternées de m quantités (1) a; SD 2 CANNES S ETES

: : - I \INI—UI Désignons, en effet, par P le produit des MEL)

différences b — a), (e— a), (ob) (e) {{a— a), (45), (a— 0) (LE PTT Re GTS EN RS SE EMA

je dis que P est une fonction alternée. En effet, soient x et 6 deux quelconques des quantités (1), dont nous écrirons la suite de cette manière :

dy cr, €, À, Es k, 6, J CURE) d;

Ja différence 6 — «

fera partie des facteurs (2) qui composent le produit P;

écrivons ceux des autres facteurs de P où la quantité « figure en regard des facteurs qui dépendent de 6 :

Les facteurs qui composent l’une quelconque des trois lignes de ce takleau peuvent être groupés deux à deux, de manière que le produit des différences d’un même groupe, tel que

(a— «)(6— 4) où (g—#)(8—s) où (j—4«)(j—6),

ne change pas quand on transpose a et 6; d’ailleurs, par cette transposition, 6 — x se change en æ — 6; donc aussi P se change en — P, et, en conséquence, le produit P est une fonction alternée.

Soit maintenant V une fonction rationnelle et alternée quelconque des quantités (1); le rapport

P ne changera par aucune transposition; donc ce rapport est une fonction symétrique S et, par conséquent VE SE

On a ainsi cette proposition :

Taéonkme. — Z'oute fonction rationnelle et alternée de m quantités est égale au produit d’une fonction

RE MAT A Ro symétrique et des Aa différences obtenues en combinant deux à deux les m quantités données.

Si la fonction alternée V est entière, la fonction symé- S., Alg. sup. — 1 34

trique S sera aussi entière. En effet, V se changeant en — V par la transposition des lettres a et b, il est évident que l’on a V — 0, quand on pose b — a, et, en conséquence, le polynôme V est divisible par la différence b — a ou a — b. D'ailleurs a et b désignent deux quelconques des quantités données, et il en résulte que

V est divisible par P.

237. D’après ce qui précède, l'étude des fonctions alternées est ramenée à celle de la fonction P.

Si l’on effectue le produit des différences (2) et qu’on opère la réduction de termes semblables, on aura la valeur de P sous la forme d’un polynôme homogène du

, m(m—1) ; He degré ——— par rapport aux quantités a, b, ....

L'inspection du tableau des différences (2) montre que, dans la partie de P multipliée par "7", le coefficient de [”"" s'obtient en rejetant la dernière ligne du tableau (2) et en faisant le produit des différences restantes; pareillement, dans la partie de ce coefficient qui est multipliée par #72, le coefficient de #72 s’obtient en rejetant les deux dernières lignes du tableau (2) et en multipliant les autres différences; en continuant ainsi, on reconnaît que la fonction P renferme le terme

a b! c? dè Des fri—2 fn —1

avec le coefficient + 1. Nous donnerons à ce terme le nom de terme principal.

Cela posé, je dis que l’on a

P =) HatbicB...Am-1/mA,

Dans cette formule, le signe À embrasse les 1.2...m

en

termes qu'on peut former, par les substitutions, au moyen du terme principal. Celui-ci a le signe +, et chacun des termes qui suivent a le signe + ou le signe — suivant qu'il se déduit du terme principal par un nombre pair ou par un nombre impair de transpositions.

Pour justifier notre assertion, soit

—H at bc... 4x

un terme quelconque du second membre de la formule précédente, les exposants &, 6,7, ..., À étant les nombres 0,1, 2,..., (m—1) pris dans un certain ordre. La même fonction renfermera aussi le terme

ar asbect,,.,. AD

qui se déduit du précédent par la transposition des lettres a et b; ces deux termes ont d’ailleurs des signes contraires, car les substitutions au moyen desquelles on les déduit du terme principal équivalent l’une à un nombre pair, l’autre à un nombre impair de transpositions; enfin la somme des deux mêmes termes est divisible par b — 4. Il résulte de là que la fonction considérée est divisible par le produit des différences (2), c’està-dire divisible par la fonction P; en outre elle est du même degré que celle-ci et elle a avec cette fonction un terme commun : donc elle lui est égale.

On doit remarquer qu’au lieu d'exécuter les substitutons sur les lettres

on peut, si on le juge à propos, les faire porter sur les exposants O$ Er 2) 45.3 CM TT).

Des déterminants.