Considérons les m°? quantités

oi bo Co; ..) 0) Lo d;, b:, C19 4 0 Op] 5 pe (1) OI PR I EC SES Ste RE ARE ee 15 An—1) DRE Cm—1s ++. Enr LR

qui forment m lignes horizontales comprenant chacune m termes, ou m colonnes verticales également composées de m termes, et reprenons la fonction alternée

P — ; ue a b! c? De feni—2 qi

des m quantités ia AT À

CVS Cd

Supposons que dans chacun des termes de P on remplace tous les exposants par des indices de même valeur, et désignons par D le résultat qu’on obtient ainsi; on aura

D =Y as @o b, Cas se Fn—2 En

La règle que nous avons donnée pour former les différents termes de P s'applique aussi à la fonction D: ainsi dans cette fonction chaque terme a le signe + ou le signe —, suivant qu'il faut un nombre pair ou un nombre impair de transpositions pour le former au moyen du terme principal

+ d9 b, Ca. res Pre

La quantité D est une fonction des m? quantités (1) : elle est dite le determinant de ces quantités et l’on écrit

habituellement 4 bo Co , Lo À y —1 fr Cyn—1 se EE

Les substitutionsnécessaires pour former les termes de D au moyen du terme principal peuvent porter indifféremment, soit sur les lettres a, b, ..., [, soit sur les indices 0,

1,..., (22 — 1), d'où l’on peut conclure cette proposition :

Un determinant ne change pas de valeur lorsqu'on remplace les colonnes verticales par les lignes horizontales, de manière que le terme principal reste le méme.

Le déterminant D est une fonction linéaire et homogène des m quantités

Œo; di; ONE A yn—15

et si l’on pose (4) D = A,4as + Aja; + A,@ He + Amp id ie

la formule (2) montre que A4 n’est autre chose que le

déterminant A5 =D LE b, Ca. Ames RARE ou | PLAT: ; l, APRES ls A, —— | (2 C3 l: ,

Pole F2 eleve SAR LAN EF RAUT e

m—1 Cyn—1 Us Ee (AGE

dans lequel le terme principal est à, Cle St ADS. LA partie À, &, du déterminant D, on transpose les indices 0 et 1, on obtiendra les termes en a, changés de signe,

mais les signes seront rétablis si l’on fait ensuite la transposition des indices o et nm — 1; on a donc

b Ca F2 by C3 lz A, Er . . ° .

DE Cm—1 OMC les

bo Co . 5 + lo

et, en continuant ainsi, on voit facilement qu’on obtien-

dra, quel que soit y,

buti Che : lat F | be Cn—1 her (5 ] A, — | ’ bo Co 0 BE Cu—1 2 lu

Il résulte de là que, sachant former le déterminant relatif à (mm — 1)? quantités, on saura former également le déterminant qui se rapporte à m°? quantités.

Comme la fonction P change de signe quand on transpose deux des lettres a, b, ..., ou deux des exposants 0, 1, 2, .., il est évident que le second membre de la formule (2) changera également de signe si l’on transpose soit deux lettres, soit deux indices; on a par conséquent cette proposition :

Un déterminant change de signe en conservant la méme valeur absolue quand on échange entre elles soit deux lignes horizontales, soit deux colonnes verticales.

Et il en résulte cette conséquence :

Un déterminant s'évanouit lorsque deux lignes hor1zontales ou deux colonnes verticales sont composées des

mêmes termes, ou lorsque les termes de l’une sont proportionnels aux termes de l’autre.

Ainsi la formule (4) donnera

| O A0 0) == À; b, 2 ET A» PRET (6) DA A SO Sn Cm 1e

gr els ete m'a Motel nie, a 10e à eus 106 5 ete) et. aa

O—A5l + Al +...+ Am ls.

239. Remarquons encore que les fonctions P et D deviendront identiques si l’on a, quel que soit u,

HU, DRE PRE d’où 1l résulte que la fonction P—{b—a) x (e— a)(e—b) X(d— a)(d— b){d—c)

Slelete rep the pis lola erets de 721 8er" à, 0: à

est égale à l’un ou à l’autre des déterminants

1 I + a ho 7 nt ET 7 à me | a b EN REUNT À LA DADI ER EU BTE Dr b? PCs L2 NN CE CN er ETES | | a”—1 bri—1 Lri gm—1 I l l? vue JA

D'ailleurs, si l’on pose

On à

atRidiet a se 67e en € Pis sn sTe + 6

et l’on conclut de là