D'= DÉS, + ST ES

dans cette formule S, désigne généralement la somme { \ NUL T DRE re Eu É :

des — RER ——— déterminants que l’on ob-

ent, quand on remplace la lettre a par & dans y lignes horizontales du déterminant D.

Nous pouvons tirer de ce résultat une conséquence qui nous sera utile. Si les quantités +; ; sont telles que

Ljuo Lou +, Amp

soient proportionnelles à Av» D 3 CCE Lyn,v,

pour toutes les valeurs des indices y et v, chacun des déterminants contenus dans les sommes S,, S3, ..., S» s’évanouira; car, dans chacun d'eux, deux lignes horizontales seront formées de quantités proportionnelles. La formule précédente se réduira donc à

DD Se ou à D'=D+D, +D, +...+D,,

D,, D:, ..., D,, étant les valeurs que prend D quand on remplace a par « dans chacune des lignes horizontales successivement.

244. Nous compléterons ces notions sur les déterminants en démontrant un théorème qu’on doit regarder comme fondamental et auquel Binet et Cauchy sont parvenus l’un et l’autre, en généralisant des résultats obtenus précédemment par Lagrange et par Gauss.

TaéorÈme. — Ætant donnes deux systèmes de mn quantités, savoir :

Ai, y +. An, bi,1 Dee 07 (a) A,g (9,9 An,2 (6) 1,2 2,2 . n,2 . Board cette" Firlais À e c'e /Stiiate LOC ee TT A: . i,m Aime An,m bin RCE, ….. LEFT posons

Ci,k — Ai b,,# + oi o,k HN Me nl br

et formons le déterminant de m? quantités, savoir :

Ci,1 Co,1 se. Cm,1 FRE C1,2 Co,2 .. Cm,2 Ci, Ca,m annee Cm,m

Si m est supérieur à n, on aura GE:

Si m est égal à n, et que l’on désigne par A et B les déterminants formes avec les quantités (a) et (b) respectivement, on aura