CS AB
le signe Ÿ embrassant autant de produits AB que l’on
peut former de combinaisons avec n choses prises m
Al
COR e. EURE CN GT VEME RS SIP CARE NS v RE 0 re ‘ = È E 2 . r ; ; 4 4 “* vf L “4
En effet, si l’on représente, pour abréger, par
+ Cj,; — d ,; bi x
la valeur de c;x, le terme principal du déterminant C sera
« mur:
Ci,1 C2,2+°Cm,m — (Vous) (Dusbus) (Nasa)
chacun des mm nombres À, u, v, ... devant recevoir les Valeurs, 2,000 1/2 ODIDeURÉOLITE AM
Ci,102,92e + -Cm,m — ; (1 Ay,2 Av,3 «07,1 bus Ge 1 F
Cela posé, pour avoir le déterminant C, il faut ajouter à ce terme principal, avec un signe convenable, tous ceux qu’on en déduit quand on échange entre eux, de toutes les manières possibles, les seconds indices des lettres c, en laissant invariables les premiers indices. D'ailleurs, par ses substitutions, les deux indices de chaque lettre a restent invariables dans l'expression de c;x, et les seconds des indices des lettres » changent seuls. On a donc, par la formule précédente,
C — \ Cr Œy,2 &, ,3 AE | ii u b;,: bio be LL h G—= ) Ar ne Gissire
vo > ou: Du ‘ “0e
Dans cette dernière formule les m» indices À, 4, v
ou
en posant
sont invariables, et comme chacun d’eux doit avoir l’une des 7 valeurs 1, 2, ...,n, on voit que, si m est supérieur à 7, deux au moins des indices À. u, v, ... seront égaux
entre eux; 1l-y aura donc deux colonnes verticales 1den-
tiques dans le déterminant W et l’on aura 1 = 0, d’où
ie E À
Si l’on a m — n, le déterminant 5 sera encore nul, à moins qu'on ne prenne pour la suite
AN USUY, celle des m nombres F2 6 UT MALE
dans ce cas, soit s le nombre des transpositions qu'il faut effectuer dans cette dernière suite pour la faire coïncider avec la précédente, on aura évidemment
et, par suite, + C= BY (— 1) dus Œ,,3: -
Or 1l est évident que la somme contenue dans le second
membre de cette formule est égal au déterminant A des
quantités (a); donc CAP:
Supposons enfin m <{n; pour que 1% ne soit pas nul, il faut, comme précédemment, que deux quelconques des indices À, , v, ... soient inégaux. Quand :l en est ainsi, V coïncide au signe près avec le déterminant B formé en prenant m colonnes verticales du tableau (b ); alors, sis désigne le nombre des transpositions qu'il faut faire subir aux premiers indices du terme principal de B pour obtenir la suite À, u, v, ..., on aura
vb —(—1)$B,
puis
C =Ÿ (—1fasu,se,..pB].
S1 l’on se borne à donner aux indices X, u, v, ... les valeurs qu’on leur a assignées pour former B, le second membre de la formule précédente se réduira à
BY ( LL. 14 ay.,2 &,,,3 « ..,
