C ", AB

le signe embrassant tous les produits AB qui répon-

c’est-à-dire à

On a donc

n(n—1)...(r—m+i) À dent aux -systèmes de valeurs que FD ne /7E

l’on peut attribuer aux indices À, u, v, ....

Remarque. — Si, au lieu de définir les quantités c;, x comme nous l'avons fait, on pose j

Ci,k == di,1 0x1 SE i,2 Oxo A PER AT Ai,m DER

le déterminant des 7? quantités c; x est égal à zéro quand m est inférieur à ». Lorsqu'on a m — n, ce déterminant est égal au produit des déterminants formés, l’un avec les quantités à, l’autre avec les quantités b. Enfin, lorsque m est => n, le déterminant des quantités c;,x est égal à la somme des produits obtenus en multipliant le déterminant formé avec # lignes horizontales quelconques du tableau (a) par celui qui est composé des lignes correspondantes du tableau (b).

Effectivement, on fera rentrer cet énoncé dans celui du théorème que nous venons d'établir, si l’on dispose 1es tableaux (a) et (b) de manière que les lignes horizontales deviennent les colonnes verticales, et qu’on : change les lettres #2 et n l’une dans l’autre.

CoroLLaiRe. — Soient mn quantités a;,x, l'indice i

variant de 1 à n et l'indice k de 1 à m. Si l’on a m<<ou = n et que l’on fasse

Cik —= di, d,x + oi Ale, Tere On, An.ks

le déterminant des quantités c sera égal à la somme des carrés de tous les déterminants que l’on peut former avec m°? quantilés a composant m colonnes verticales du tableau formé avec les quantités a, c'est-à-dire que l'on aura

Ÿ à #2 Haine Co,9 . Cm,m TE S ( A RC en 9

Le signe S se rapportant à toutes les combinaisons 1,

MR uirdes nombres, ue si Nix PI LS NU

Pour démontrer ce corollaire, 1l suffit de remarquer que les déterminants représentés par À et B dans le théorème précédent deviennent 1c1 égaux entre eux.

245. Le théorème que nous venons d'établir conduit à de nombreuses conséquences dont on verra le développement dans ce qui va suivre. Mais nous ne pouvons nous dispenser ici de remarquer qu’on en déduit immédiatement ce théorème d’Euler.

Taéorsme. — Le produit de deux sommes de quatr'e carres est lui-méme la somme de quatre carres.

On a, en effet, d’après le théorème du n° 244, (ai, Ag, — Ay,o An, ) ( Oa,1 Oa,e — Di, bai)

= (4,1 04 + da Do) (1,9 Dia + Goo ass)

pe (&: bi,2 + do, ba) (&,9 Din + Apo Da,i}e Cette égalité ayant lieu identiquement, soient

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