FAT PR EC

C9 al

S.— Alg. sup., L.

huit quantités quelconques et posons bi pERg V—1, Has = +10 VE TN bi: LPS Re Aya ORAN ET, bi COR ER b

aa =+a+ 6 x,

di cd L a =—r+SsYÿ—1;

notre identité deviendra (a+ BH a+) (p+g+r+s) — (ap — bq + cr — ds }? Se (aq + bp — cs — dr}? + (ar — bs — cp + dq} + (as + br + cg + dp},

ce qui démontre le théorème énoncé.

Il convient de remarquer que l’égalité précédente peut être écrite de plusieurs manières différentes, car on a le droit de changer de signe de l’une quelconque des huit quantilés 4, 000 4 DANS

Des fonctions entières et homogènes du deuxième

degré.

246. Nous avons fait connaître au n° 192 une propriété importante des fonctions homogènes du deuxième degré; cette propriété et les notions que nous venons de présenter forment la base sur laquelle repose l'analyse que nous nous proposons de développer ici. On reconnaîtra toute l'importance de cette analyse, en étudiant les conséquences que l’on en tire pour la théorie des équations

Soit f une fonction entière et homogène du deuxième degré des m variables

Lis Los ces Te

Nous représenterons indifféremment par 24; ; ou 24a;,; le coefficient du produit des deux variables distinctes

APR: jeter dr.

ms.

Xi, Xj; Quant au coefficient du carré de l’une des variables x;, nous le désignerons par a; ;. D'après cette notation, l'expression de f sera

(1) J 5 > CPE

avec la condition ji di, js

Ainsi, dans le cas de deux variables, on aura

Lo

nl

ch ds 2 2 = Aj,j Lil j = Mn X, + 20,9 Li Lo + Qo,2 Le

Désignons par XNA A

m nouvelles variables, et posons

| Ah Apr as Net @ it Xms Lo — X,9 X: + X9,9 D. = FA LR As nd Uyn,2 ), PR

(2) Lyp — X1.m X: LE Go,m X2 eee + am,m D LT

les quantités «;,; étant des constantes arbitraires. Si l'on substitue ces valeurs dans l'expression (1) de f, celle-ci se changera en une fonction F des nouvelles variables qu’on peut représenter par la formule