FE DE X; X

les coefficients À; ; sont des fonctions entières des coefficients a;,; de f et des coefficients à; ;; on a, en outre,

À ;,: —= Ai,

Le déterminant

Aya © Let cc. Xm,1 | X1,2 Xo,9 ss. Xyn,2 OR] + 24 +. 0e +.

Ui,mm Ao,m +++ An,m |

sera dit le déterminant de la substitution linéaire (2). Si ce déterminant n’est pas nul, on pourra résoudre les équations (2) par rapport aux variables X qui seront ainsi des fonctions linéaires des variables x. Alors chacune des formules (1) et (3) pourra se déduire de l’autre par le moyen d’une substitution linéaire.

247. Nous avons démontré au n° 192 que la fonction f peut être exprimée par une somme de carrés de fonctions linéaires, et que, dans le cas général, le nombre de ces carrés est égal au nombre m des variables. Cette décomposition de la fonction f en carrés peut se faire de plusieurs manières différentes; cela résulte évidemment du procédé dont nous avons fait usage pour l’effectuer et on le reconnaît immédiatement aussi, quand on emploie, pour le même objet, la méthode des coefficients indéterminés. Effectivement, si l’on pose

im ]J=mMm =

6) = d'aue D) (Ain Ti + Aou Te +. + Ami: PRE

2—1 EN He =

que l’on effectue les opérations indiquées dans le second membre, et qu’on égale entre eux de part et d’autre les coefficients des termes semblables, on formera seulement mim +1) PÈRE des indéterminées A, est égal à m?.

Considérons l’un quelconque des systèmes de valeurs

équations de condition, tandis que le nombre

des indéterminées À;,, telles, que l'équation (1) ait lieu identiquement. Posons

X: — Ai,1 Li + À» ,: M Ve on CEA To to AP Tim) (2) X2 A Ti —+ A9,a T2 +. . math

X»— Aismtit Asmaa +. + Ar, mm 3

on aura J=X +X;+...+ x.

S1 le déterminant

| Ai A1 *.. Am,

D — | A:,2 A2,9 ces A »,2 DE

s.8. + CC]

| A Ào,m CC A

n’est pas nul, on pourra tirer des équations (2) des valeurs déterminées des variables x, savoir

| SE More Fe X; Ra X2,1 X> sn t: Lrm,1 X}», (3) La — a X4 + ago Xo +... + am, ms

ere ne 6) nr 0/0 21e 9 ele ec 700. mal ardt sse Let ss eye ls ,

Tr C,mAt tr &esm Xe + SRE CR RPC

et, en conséquence, la réduction de la fonction f à une somme de carrés pourra être réalisée par le moyen de la substitution linéaire (3); il importe d'examiner ce cas avec attention.

La dérivée de la fonction

OT je De Se

par rapport à xx est sis à la somme des dérivées de ses

termes ; or la dérivée de a; ;x;x; parrapportàx4 estnulle à moins que l'on n'ait i—kouj—Àk; dans le premier

cas, la dérivée est ax ; x;, elle est a;,4x; dans le second cas; enfin, si it —7—k, cette dérivée est 2ax%,r%x ou ax,k Xx+ ax,x Xk, d'où 1l suit que l’on a

De

= ce Er CEs 2 VE

Si l’on multiplie par 2x4 cette équation (4), qu’on donne ensuite à # les valeurs 1, 2,.,.,m, et qu’on ajoute tous les résultats, on obtiendra la formule

(5) df Of of

T'; mo À Ne +, + x dx,

LC, = =D dx m dm 1e

qui exprime, dans un cas particulier, une propriété des fonctions homogènes.

Comme on a aussi, par hypothèse,

p—In

Pme ù (Asus + onda He. + Ampm )

il viendra, en prenant les dérivées des deux membres par rapport à x4 et divisant par 2,

Sa n (Ain + HAE Ti

La comparaison des formules (4) et (6) donne

Lt Mo DE 29

di,k — A;,1 Az, Cr À ed pe ren AP Ares

c’est-à-dire

pour toutesles valeurs des indices z et À. Si donc on pose

dj,1 ei Œyn,1 «a «: «a { DE 1,2 2,2 m2 (7) i— ; . . ..

di ,m a ,m QE L, Ayn,m

on aura (n° 244, Remarque) ( 8 | A D*

Il résulte de là que le déterminant de la substitution (2) ne peut être nul que dans le cas où l’on a A — 0.

Ce déterminant À, formé avec les coefficients des fonctions linéaires

EN à hs, RU:

» LNCRCC | — —

LME Be :

MOTTE OT er

joue un rôle considérable dans la théorie qui, nous occupe. M. Sylvester lui a donné le nom d’invariant, qui est adopté aujourd’hui par les géomètres.

D'après cela, nous pouvons énoncer la proposition suivante :

Si l’invariant d'une fonction homogène du deuxième degré n'est pas nul, toute réduction de la fonction à une somme de carrés pourra étre obtenue par le moyen d'une substitution linéaire.

248. La dénomination d’invariant, donnée au déterminant À, se trouve justifiée par la proposition suivante:

TaéorÈme. — Lorsque, dans une fonction entière et homogène du deuxième degré, on substitue aux m variables des fonctions linéaires de m nouvelles variables, l’invariant de la transformée est égal à l’invariant de la proposée, multiplié par le carré du déterminant de la

552 COURS D’ALGEBRE SUPÉRIEURE.

substitution ; en sorte que, si ce dernier déterminant est

égal à 1, l’invariant n’est pas altéré par la substitution.

En effet, la fonction proposée f pouvant, dans tous les cas, être réduite à une somme de carrés, posons

\1) ÿ É (c1,# Ti Co,k To ee + Cm,k mn l,

et considérons la substitution définie par la formule (2) Ty = pi Mi + Aue Xe He + Cum Xm

où y doit recevoir toutes les valeurs 1, 2,...,m. Si l’on exécute cette substitution, f se changera en une fonction F, telle que

k (3) ire ÿ (Gi, Xi mr C2, X2 ses C,k X Jr

k=1 et l’on aura évidemment Ci iti: CL a :Co MO NOIR CRUE

pour toutes les valeurs de z et de k, ce qui montre que le déterminant des quantités C; ; est égal au déterminant de c;,x multiplié par celui des &;,;. Mais, si l’on nomme À l'invariant de f, À’ celui de F, et D le déterminant de la substitution (2), les déterminants des quantités C; x, c;x seront respectivement égaux (n° 247) à VA; VA; donc

on a VA' = à VA; d’où AREAS

ce qui démontre la proposition énoncée.