NE) = TA

(1) f= > De re

où l’on suppose

(2) dj,j — Ai, je Posons 3 I L'RAESE OUTRE 3 EE ( ) Pi am 1? SN 2 9 = = À 2 07; MOTS D ARE me ou Ai, Mi + Go, La Hoi + Gp Tm = X4, (4) A,9 Ly FF do, lo Too + Am, Xm — X 95 CAPITAL ATR Te 0" 5 LOU ENS TUE, UTe El CURTAMR LVL als 6 0. re ose , | dimli tT@mte tr... Fam,mlm —= Na

et rappelons que l’on a

im à (5) fa Xi + Xamte Xuen — D Xe

Nous nous proposons de résoudre les équations (3) ou (4) par rapport aux variables x et de trouver la fonction F dans laquelle se change f, lorsqu'on y remplace les variables x par leurs valeurs en fonction des nouvelles variables X.

Si l’on résout les équations (4) par rapport aux variables x, le dénominateur commnn des expressions qué

l’on obtiendra sera précisément l’invariant À de la fonction /. Mais je supposerai que l’on calcule À sans faire les réductions auxquelles donnent lieu les équations de condition exprimées par la formule (2), et que l’on opère comme si les coefficients à; ; étaient des indéterminées n'ayant entre elles aucune dépendance. On aura alors, pour l’inconnue x;, la valeur suivante :

04 JA oA SURESR re , X1 + (=) Xo +... + (E) x, |»

ou I OA (6) = Ge)

en représentant par

la dérivée partielle de À prise, par rapport à a;;, dans l'hypothèse où les quantités a sont indépendantes.

La fonction cherchée F est égale à la valeur que prend le second membre de la formule (5) quand on substitue aux variables x les valeurs tirées de la formule (6); on a donc

(7) ri Se Se =) xx,

Il est permis, à cause des relations (2), de transposer

les deux indices de chaque lettre a dans les équations (4), et, en faisant cette transposition, on aura, au lieu de la

formule (6),

I 94 \ =D (ou) *

EE pee)

La comparaison de cette valeur de x; avec celle déjà trouvée montre que l’on a

| OA j OA (8) (ie) === mail

en vertu des relations (6); alors la formule (7) donne

dF ET | 9

Am NI

et, en conséquence, les formules (6) se réduisent à

(9) = Te 2 OX;

AAC , OA AA 1 Désignons maintenant par = la dérivée de À prise Ô@;,j par rapport à 4; ;, en ayant égard aux relations (2). On aura, à cause de la formule (8), sic et j sont inégaux,

OA POINTE | JA TON re a. |:

et, si ] ENT, : :

A ( A don ao Fu L

la formule (7) peut alors être écrite de la manière sui-

vante :

ON 10 Ke (0) DE a ER ou JA DATES OA RE T x2 SR RATE Re | O4, Î 042,2 Dar | JA OA OA | EL DCR EX EN Ve \ Jai, (ire jar ,3 qe DU m HAE

Le produit AF de la fonction F par l'invariant À est ce que Gauss a nommé la fonction adjointe de la fonction f.

Soit À l’invariant de F; comme la fonction f se déduit de F, en exécutant dans celle-ci la substitution (3), dont le déterminant est À, on a (n°248) À — A’ A2, et, par conséquent,

il résulte de là que l’'invariant de la fonction adjointe AF CET EE RANGER

250. Pour trouver la fonction F, on peut suivre une autre marche que nous devons indiquer, parce qu’elle nous conduira à une conséquence importante. Il est évident qu'on atteindra le but proposé, en éliminant les m variables x entre les m équations (4), savoir :

Aie

n) x, ou ay X Au

et l'équation

i=m (12) Fist mt. Xnen = D Xi

Pour faire cette élimination, multiplions les équa-

tions (4) par l’équation (12), nous obtiendrons m équations qui se déduiront de la suivante :

(13) (Fa; — XiX;}r;—0,

en donnant à 7 les valeurs 1,2, ..., m. Les m équatious (13) sont homogènes par rapport aux variables x;

Li be ff A Tr tÉR ÉEe EX te at D Dr L GPA A TEAf à PS RUE SR RE EE à « QT * * ” RS | “ N * ; or l À ë de,

done, pour éliminer ces variables, il suffit d’égaler à zéro le déterminant des m°? quantités

(14) Far; XX;

Ce déterminant peut se conclure très-facilement de celui des quantités Fa; ;, lequel est égal à F” A. En effet, l’indice 7 étant le même pour tous les termes d’une même ligne horizontale, 1l est évident que deux lignes quelconques du déterminant X;X; sont formées de quantités proportionnelles; dès lors, d’après ce qui a été établi au n° 243, le déterminant des quantités (14) s'obtiendra en retranchant du déterminant des quantités Fa; ; chacun de ceux qu’on en déduit quand on y remplace successivement chaque ligne horizontale par la ligne horizontale correspondante du déterminant des quantités X; X;. Or, en conservant les notations dont nous avons déjà fait usage, On à FF OA WC 0 de Ce EN jaoaae et : ] ans:

A, j LOGn. 5

et si L'on remplace

Fa, Fa, j, .. Fa

>)? 2 Moi

par RIRE Ro R td

on obtiendra pour résultat

OA MED A (15) Ent) (- JA x ++ | =) xx, |:

d&i, j GER

done, pour avoir le déterminant des quantités (14), ïl suffit de faire la somme des valeurs que prend l’expression (12) quand on donne à j les valeurs 1, 2,...,m, et de retrancher ensuite cette somme de FA. Si enfin on égale à zéro la différence obtenue et qu’on supprime le facteur F”*=!, on aura une équation qui donnera précisé-

ment pour F la valeur (7) trouvée plus haut et de laquelle nous avons conclu l'expression définitive (10).

951. Voici maintenant la conséquence que l’on tire de la méthode précédente. Si l’on pose Rise Ff=—= (X; Li + X2 To D MEL rs > AT

les équations (13) seront évidemment

0 Ô VAN ot == (8 exa lets 10;

T; 2 V3 2 dm Fa

d’où 1l résulte que le déterminant des quantités (14) n’est autre chose que l’invariant @ de ç considérée comme fonction des variables x, Xo, ..., Xm. Gela étant, considérons la substitution quelconque

At (0) (0) (0) Li — ,1 T4 Va à Ta ME ee 0 Ty

0) (0) nl0) + 9,9 Ta M Un | SHC

dont nous désignerons le déterminant par d. Par cette substitution, f se changera en une fonction f (0) que nous représenterons par

tm Ji

au (0) (0) (o) (17) PEN) Ÿ aa YA.

et si l’on pose, en outre,

(0e | X, —— 1 ,1 X, À X1,9 X, +. , PL 5e Ai, M 44

(0) (18) ; Ko 9,1 X, + L9,9 Xe "t-nTtEN en,

CHI r Ne Ami X1 A Œmn,2 Xe FT CRE Nr

la fonction gse changera en une fonction (0) ayant pour valeur

Ce @) (0) YO 0 po = FFC — (KO EXO 0 +. + XD D

In et dont l’invariant sera égal à @90?, L'équation D= o,

En employant successivement ces deux invariants, on conclura deux valeurs de F qui devront être identiques, et 1l en résulte ce théorème :

La fonction F reste invariable, quand on y remplace les coefficients a;,j par af”, pourvu qu'au lieu des varia-

bles X, on mette en méme temps Œu.,1 X: —- Lu, 2 X, +... + Lu, pn X,,:

Supposons que la substitution (16) soit choisie de manière à réduire f à une somme de carrés; l'équation (17) prendra la forme

Re L 0j (19) PAQUET PIE NES SEP PRE LS

il est évident que l’invariant de f (0) est égal au produit E4 E2. + + Em et l'on a (n° 247)

(20) Ets DPPUIER = NO?

ce qui montre que, si l'invariant À est différent de zéro, ainsi que le déterminant de la substitution (16), aucune des quantités e ne pourra être nulle. On tire de l’équation (19)

56o COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

et en substituant, dans la même équation (19), les valeurs de x, x), ..., tirées de ces formules, il vient

FO) = Lg LOI IS CRU

ë, 1 8, 2 É m Cela étant, pour avoir la fonction F, il suffit, d’après ce qui précède, de substituer à XW, X°, ..., dans la formule précédente, les valeurs tirées des équations (18). On aura donc, en se servant de la formule (20) et en conservant les variables X(0 qui sont des fonctions linéaires

des variables X, X°0p "xo 72 (21) BP en | 5 | ee | Û

Supposons maintenant que l'invarïiant À soit nul; d'après la formule (20), l’une au moins des quantités € sera nulle, et par conséquent tous les termes du second membre de la formule (21) disparaîtront à l’exception d’un seul. On peut conclure de là cette proposition :

TuéoriMe. — Si l'invariant À d’une fonction homosène du deuxième degré est nul, la fonction adjointe AF est un carre parfait.

959. ExemPLes. — Considérons en premier heu la fonction homogène

f—= Az? +2Bxy + Cy*

des deux variables x et Le On aura

> si À By =

2 Ô0x URSS 1 0f

ER à PS EE PE em 2 9y T NA .

+ a ANT . CES RE ee RE | » «# Lee hu te D," vs 1 © tin TA L at à | "TOR Le F 1. 7. 4 F sn L é es ÿ “ 0 Eh & nf” à 4 ar CS {

SECTION Il. — CHAPITRE 1V. 561

l’invariant À a ici pour valeur

A —AC—RB}:, et l’on a CXe= BY AY RX D —— ———— 9; PU DES

en substituant ces valeurs dans l'expression de 31. on obuent la fonction adjointe AF, savoir :