B'B” — AB) YZ + 2{(BB”— A’B') XZ + 2(BB'—A’B’)XY

Posons AA Bio, AA BIG AN Be.

on aura (B'B’— AB}? —x'a”— AA,

(BB — A'B'}? — aa” — A'A, (BB' —A”B’}?— xx — AA, et quand l’invariant À est nul, ces formules se réduisent à B'B’— AB — Vo V4”, BB’ — A'B! — x Va”, BB! — A’B"— \/o Ya; donc la fonction adjointe AF se réduit, dans la même hypothèse, au carré de la fonction linéaire

X a+ Y Ve +2 Va”.

Bemarque sur la réduction à une somme de carrés.

253. Nous terminerons ces considérations générales par une remarque importante relative à la réduction d’une

fonction entière et homogène du deuxième degré à une somme de carrés.

Soit ALES La) une fonction entière et homogène du deuxième degré des m variables

T1, To, 79 DATE

dans laquelle les coefficients ont des valeurs indéterminées. En appliquant ici le procédé indiqué au n° 192, on pourra exprimer la fonction f par une somme de carrés, de la manière suivante :

— 2 = Er + ao do + als He Ham Tm) + 62 (To + ase T3 +... + amatm) + 63 (T3 Has Li +... +am,s Lim) EE OI LT PR, RC SR ET + € (æ + œ SAONE m1 | Tm—1 mim—1 Tm

2 TA Cle en sorte que la fonction nt exe Le, X se changera en f, par la substitution

Xi = Li + Gas Lo He + m1 Um Xe Tr + Gg,2 T3 He se + Am,2 Cm

was tiens ere 6: 6 /e:#70/0)0,0 0 0/0), 0190/0160 "0 9

NÉS 40e

dont le déterminant est égal à 1. Les fonctions F et font dès lors le même invariant:; or l’invariant de F est évidemment €,€...e,: si donc on désigne par À,, celui de f, on aura

Ares 6; te

Te Si l’on pose

Tm—0, Ty —=O0, 3 Lm—i+1 = O,

f se réduira à une fonction des m — 1 variables

Lis Lop es Lyn—i; et nous désignerons par À,-; l’invariant de cette fonction. Il est évident, par ce qui précède, que l’on aura

Ayn—i = Ei E2e + + Emi;

nous admettrons que cette formule subsiste pour i— Mm— 1, ce qui revient à poser

Die 81e On aura, d’après cela, A —e#, A3 —616, A3 —61€2€3, . ei Am — €1€ Em d’où l’on tire A; A3 4 Lm :

Ét 01 MT A En Li “reste Me

il résulte de là que la fonction f peut être représentée par la formule An