A A FE XI + EX + CXS +... + X

m—1 X,, Xo, .., X»m étant des fonctions linéaires des variables x;, Xo, ..., Xm. M. Hermite a tiré de cette formule, comme on le verra plus loin, des conséquences de la plus haute importance.

Nous avons supposé que les coefficients de la fonction f étaient des constantes indéterminées ; mais 1l est évident que tous les résultats qui précèdent subsisteront quand

on donnera à ces coefficients des valeurs particulières quelconques, pourvu cependant qu'aucun des invariants

À, A; Cr CI) An

ne se réduise à zéro.

Théorème relatif aux fonctions entières et homogènes du deuxième degré à coefficients réels.

254. Dans l'étude que nous venons defaire, nous n’avons fait aucune hypothèse sur la nature des coefficients des fonctions que nous avons considérées. Nous supposerons ici que ces coefficients soient des quantités réelles ; alors, en appliquant le procédé du n° 192 à une fonction entière et homogène du deuxième degré, f, pour la réduire à une somme de carrés de fonctions linéaires, 1l pourra arriver que quelques-unes de celles-cicontiennent le facteur ÿ—1. En d’autres termes, la fonction f sera exprimée par une somme de carrés de fonctions linéaires réelles, multipliés par certains coefficients positifs ou négatifs.

On peut dire, avec M. Hermite, que deux fonctions entières et homogènes du deuxième degré sont de méme espèce, lorsque, ces fonctions étant exprimées par des sommes de carrés, le nombre de ces carrés dont le coefficienia un signe donné, est le même dans l’une et dans l’autre fonction.

Cela posé, nous présenterons ici une proposition fort importante avec la démonstration qu’en a donnée M. Hermite.

Tuéorème. — De quelque manière qu'on transforme un polynôme homogène du deuxième degré à coefficients réels et dont l’invariant n’est pas nul, en une somme de carrés de fonctions linéaires réelles, ces carres étant affectés de coefficients numériques également réels, le nombre de ces coefficients qui auront un signe donné sera toujours le méme.

Soit

f\u, Ugy Um)

une fonction entière et homogène du deuxième degré des

m variables Uj, Uosy +, Um

et dont l’invariant À ne soit pas nul. Dans cette hypothèse, toute réduction de f à unesomme de carrés pourra, comme on sait, être réalisée par le moyen d’une substitution linéaire et réelle dont le déterminant n’est pas nul. Supposons donc que, par la substitution réelle,

1=m (x) u=S as À\—1

on obtienne