HE

e, étant un coefficient réel positif ou négatif; et qu’une autre substitution réelle,

(3) A Ÿ A,8 Xi

donne p=m

(4) DNS m=1

E, étant encore un coefficient réel. Il s’agit de prouver que dans les deux suites

Es gs se. Em

E;, E,, QUO En;

il y a un même nombre de termes ayant un signe donné. Supposons négatives les quantités €&,, Es, ..., €; et po-

sitives les suivantes €;,,,..., €m; Supposons aussi que E,, E>, ..., Ex soient négatives et que Ex,,,...,E, soient positives; dans le cas où toutes les quantités € ou E sont positives, on aura 1: = oouk = 0. Nous allons démontrer qu’il est impossible que les nombres £ et k soient inégaux ; par exemple, qu'on ne peut pas avoir ki. Admettons effectivement cette hypothèse dek >: et examinons les conséquences qui vont en résulter. On a l'identité

= nn? ! L=m * r 2 ie Fi 2 p=1 h=1

les variables x étant liées aux variables X par mn équations qui se déduisent de la suivante :

Dr — > Au X,

en donnant à p les valeurs 1, 2,..., m. Le déterminant de la substitution (1) n'étant pas nul, il est évident que les équations (6) pourront être résolues par rapport aux variables x, et la même chose aura lieu encore si l’on