X:, X>, LOT X

de l'expression de x.

Cela étant établi, on voit que, par une série d’opérations toutes semblables, on pourra faire disparaître les variables

AE EP RP de l'expression de x2. Comme nous nous arrêtons ici à X; et que la dernière opération consiste à remplacer X%- et X;, respectivement par

Xy 2 coso + X4; sin, Xy sinp — Xz-:1 cosy,

onne verra reparaître dans x, aucune des variables que l’on a d’abord fait disparaître de son expression.

On peut opérer de la même manière à l'égard des variables x3, x, ..., xx,; l'expression de x, ne contiendra plus les variables X,, X2, ..., Xx 3, la dernière variable x;, ne renfermera plus X,. Ainsi l’on aura

X,1 — 0, Xa,1 — 0; 9 A1 ,1 — O, X,2 — O, Xo,9 —— O, der € | 9,9 = O, (9) DANS e, sn oc RS Te qe ubhelestats 0.5) 018 PIOLRNRUPANT EL et REX 8: 9

Le nombre k étant supérieur à ë, si l’on substitue les valeurs (8) des variables x dans l'équation (7), et qu'on égale de part et d’autre les coefficients de X’, on aura

2 2 2 + , He: + ee À 1 Li jy Li i+s 1, ?

et cette équation ne peutêtre évidemment satisfaite par des valeurs réelles des quantités x. Onne peut donc ad-

. Nas L * LE à " UE r* k V5 . - : +

570 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURY,

mettre l'inégalité des nombres z et #, ce qui démontre la proposition énoncée.

Théorème de M. Sylvester relatif aux fonctions auxquelles conduit l'application du théorème de Sturm.

255. Le théorème dont il s’agit ici a pour objet de faire connaitre l'expression algébrique des fonctions qui interviennent dans l'application du théorème de Sturm à une équation donnée. M. Sylvester l’a publié sans démonstration dans le Philosophical Magazine (décembre 1839); et Sturm l’a établi ensuite dans un article qui fait partie du tome VII du Journal de Mathématiques pures et appliquées. Nous présenterons la démonstration de Sturm en y apportant quelques simplifications dont l’illustre géomètre a d’ailleurs indiqué la principale en terminant son Mémoire.

Le théorème de M. Sylvester peut être énoncé comme 1l suit :

Taéonkme. — Soit V — o une équation quelconque du degré m à une inconnue x, dans laquelle, pour plus de simplicité, le coefficient de x”! sera pris égal à l'unité, et dont les racines supposées inégales seront désignées par a, b,c,..….,k, [. Soit V, la dérivée de V. Concevons qu'on cherche, par le procédé ordinaire, le plus grand commun diviseur de V et V,, en ayant soin de n'introduire et de ne supprimer aucun facteur indépendant de x, et en changeant toujours les signes des restes avant de les prendre pour diviseurs. Désignons par V:, V:, …., Vh ces restes pris avec des signes contraires dont les degrés, par rapport à X, sont respectivement M2) IT hr, 1,0, dans le cas général. Les polynômes

V, Va; Va RE) Va

s'exprimeront en fonction de x et des racines a, b,c, …, k, l de l'équation V — 0, de la manière suivante :

LV —={x—a)(x—b) (æ—c)...(x—1),

3e Ÿ (ab) (æ— ce). (e—0),

EE Ed e—vy DM EU CORRE D, — Du BY? (a—c}? (b—cj?{x—d)...(r— 0), = Ÿ ab}? (a—c}" (a—d}? (b—c)? (b— dj? (c—d}? (x—e)...(—1),

les quantités À, Às, .…, Ân étant déterminées par les

formules L LH À — e NE Pi : (2) AN ati ; VE P2 A (ee), ; P1P3, 401. 9 Pi T4 m,

mr > (a-—b)? (a—c)? (a—d}{(b—c)(b—d}(c—d),

et chaque somme D représentant une fonction syme-

trique des racines dont tous les termes se déduisent, par les substitutions, de celui qui est écrit sous le signe.

La première des formules (1) exprime la composition de l’équation proposée, et la deuxième a lieu par un théorème connu. Il reste à établir les suivantes.

Soient

Q:;, Q>, dE Qt

les quotients que fournit la recherche du plus grand commun diviseur; ces quotients seront du premier degré en x, dans le cas général, et l’on aura

V = V,Q, 23 Vo, Vi —V:Q: —V (4) s CVs M Qi Vi,

Au moyen de ces formules, on peut exprimer successi-

vement Ve: Va, SRE) Ve

en fonction des polynômes V, V, et des quotients Q; on trouve ainsi