et que l’on doit faire en conséquence À

1— Le

Ca .*

On voit, par la première des formules (ro), qu’il ne nous reste plus qu’à déterminer la constante À,. A cet effet, substituons, dans l'égalité

(13) Vata = Va Qu — Vus

les valeurs de V, et de V,, tirées de la formule (6) et de celle qu’on en déduit par le changement depenu—1, on aura

Vin = Vi (Su Qu — HOT EN AIMONS Th },

d'où il suit que l’on a, par la notation convenue,

(14) Spa — Sy Qu — Spge

Les formules (13) et (14) donnent V, 3 Vi Su-+1 Sc:

Prat tes = = 1 — Va VS: Q Sy Qu !

d’où, par la multiplication,

Si = (14%) Ée di), So. Vis Vi=: Su Qu

et l’on conclut de là, pour x =,

lim St Va = 1.

Sa Vu Ainsi les fonctions Sa Ve, Sy Vas UERRCLE S2 V, FACE ANS 2e S,V

se réduisent à l’unité pour « —% , etil en sera de même du produit de ces fonctions ; en sorte que l’on aura

US im 1 (pour z —® ).

Or le terme du degré le plus élevé en x dans le produit S,,, V, a pour coefficient

Re DE b(a—c}...(g— y |

Pi

Ro

ou

en adoptant les notations exprimées par les formules (3); on à d’ailleurs S, —1, d’après les formules (12), et le coefficient de x” dans V est égal à 1. L'expression précédente se réduit donc à l’unité, et l’on a

: + RS hu hat = Py 5

il estévident que, dans le cas de u —1,le second membre de cette formule doit être remplacé par m?, ce qui est conforme aux formules (3). On a donc

es 4 BE. ENT | — n = À — 1; \ À — P; , À 13 p}, OPCUCE) À 1 = PES

d’où l’on conclut immédiatement les formules (2), ce qui achève la démonstration du théorème énoncé.

Il faut remarquer que la quantité p,, ne figure pas dans notre analyse, mais nous introduirons cette quantité dans ce qui va suivre, et c'est pourquoi nous l’avons comprise dans le tableau (3).

256. Nous allons faire connaître maintenant une conséquence importante du théorème de M. Sylvester.

Les quantités p,, P2, Ps, ..., sont des fonctions symétriques et entières des racines de l'équation V = 0, et en conséquence elles sont exprimables rationnellement par les coefficients de V. Si donc ces coefficients sont réels, Pis Pas Ps, .… seront aussi des quantités réelles; dès lors Les facteurs lo, À3, .. À seront des nombres essen-

M nn de

tiellement positifs, et l’on pourra les supprimer des formules (1) iorsqu'il sera question d'employer les fonctions V, V,, Vo, ..., pour la recherche du nombre des racines réelles de l'équation V — o qui sont comprises entre deux limites données.

Cela posé, si N désigne le nombre des racines réelles de l'équation V—0, N sera égal, d’après le théorème de Sturm, à l'excès du nombre v, des variations que présente la suite V, V,, V:, .…, pour x ——, sur le nombre v, des variations que présente la même suite pour x = + , et 1l est évident qué #, et v, expriment aussi les nombres de variations contenues respectivement dans les deux suites

1, er F1: + Po) ... +(—1)"py, I, P:: P>2; OR: Pm:

La somme #, + v, est évidemment égale à m; on a, par conséquent, Po —m—=N, + —=m, N=—=m—2",; 2v, est donc le nombre des racines imaginaires de l’équation proposée, et de là résulte ce théorème :

Le nombre des couples de racines imaginaires de l'équation V — 0 est égal au nombre des variations de signes que pr'ésente la suite des quantités

Ty Pis Pos sers Pme

257. Dansun Mémoire qui fait partie du tome XII du Journal de Mathématiques pures et appliquées, Borchardt a donné au précédent théorème une forme très

élégante que nous indiquerons Ici.

S. — Alg. sup., I. 3-

On a pe Ÿ (a—b}(a—cÿ...(8 — 4), le nombre des racines a, b, c, ..., g, h, qui figurent dans

chaque terme étant égal à; on a vu d’ailleurs (n°239) que le produit

est égal au déterminant formé avec les u? quantités

I I I Et I a b C ANA UT |:

a? b? c? PME : 3 ai b3 c? AGP IE JE | AP OPTION LE |

donc p, est la somme des carrés de tous les déterminants que l’on peut former en prenant colonnes verticales

du tableau

L I I CÈT 1 a b c Dar: l a? b? (GE FAT DRE ;

es ne cn qui renferme mu quantités. Alors, si l’on pose

Up — dela pie, BRL LE VE PEL FREE EE ee on aura (n°244) pie Ÿ aus san: |

Or «, n’est autre chose que la somme des puissances de

SECTION II. — CHAPITRE IV. 579 degré À + p — 2 des racines de l'équation V = 0, etnous ferons en conséquence

on voit que p, peut être représenté par un déterminant de p? quantités, savoir :

S0 $1 CRC Sa $ ae Su | Pa | 52 S3 eo. Su+i |

Sat Su . Sou—9

La proposition que nous avons obtenue au numéro précédent peut alors être énoncée comme il suit :

Taéorëme. — Soit proposée une équation V—=0o du degré m. Des coefficients de cette équation déduisons les sommes des puissances semblables de ses racines, jus qu'à l’ordre 2m—2 inclusivement, et avec ces sommes, que nous désignerons par So, 51, Say se, Say cs Sam 2s formons les quantités ps, Pa, ..., Pm ER posant

Die 50

__ |S si P2— 9 “1 Sa 50 VS P3 — $1 S S3 9 EURE NS” ee CP ‘ So 1 S2 Sym —1 | S1 S2 S3 Sm LA Pm — k | 9 |

Sm—ire S2m—2

580 COURS D'ALGÈEBRE SUPÉRIEURE.

l'équation V—0o aura autant de couples de racines imaginaires qu'il y aura de variations de signes dans la suite

ï, Pi P2» .., Pme

CorozLarrEe I. — // y a au plus = variations dans

la'Suilée 1,%pi,1Pa; Dm:

CorozLaiRE Il. — Pour que l'équation V =0o ait toutes ses racines réelles, 1l faut et il suffit que les quantites

Pas Pas.) Pm

soient toutes posilives.

Application du théorème de Sturm à une classe remar-quable d'équations algébriques.