Considérons les m équations

LC Mn li File +... + Am,1 Tms

Elo = Bo Li Ho, T9 HF... + Aya Ts (1)

. cos Zirers re pet taste. soso etes cure rs a es Ü ,

dans lesquelles les coefficients a sont des constantes réelles données satisfaisant à la condition

di,j = Œ ji

Ces équations sont linéaires et homogènes par rapport aux variables x; et, si l’on désigne par lle déterminant

M1 +8 A3, sc... Ami

di ,9 Una Tire er, |

Œi,72 Aa,m cc. Zn,m —£ |

l'équation en g, [ — 0, qui est du degré m, sera le résultat de l'élimination des variables x entre les équations (1). Cette équation comprend comme cas particu liers celle dont dépend la recherche des axes principaux des surfaces du deuxième ordre, ainsi que celles au moyen desquelles on détermine les inégalités séculaires des éléments elliptiques des corps célestes.

Nous nous proposons ici de démontrer une propriété fort importante de l'équation F = o; elle consiste en ce que toutes les racines de cette équation sont réelles. On possède plusieurs démonstrations de cette proposition; mais la plus remarquable est celle que Borchardt a présentée, dans le Mémoire que nous avons déjà cité, comme une application du théorème de Sturm. D'après ce théorème (n° 257), la réalité des racines d’une équation dépend des signes de certaines quantités que l'on sait former; dans le cas qui nous occupe, il se présente cette circonstance singulière, que chacune des quantités dont il s’agit est une somme de carrés. Nous croyons utile de reproduire ici la belle analyse de Borchardt.

Multiplions chacune des équations (1) par g et substituons, dans les seconds membres, à gx, SX, ..., SXm leurs valeurs tirées des équations (1): nous obtiendrons le nouveau système

(2) (2) (2) g? TA Fe 1 T' —+- A) 1 D) —+- PCA —+- in ,1 mo

(2) (2) (2) 2 == L (2) LE? Lo = Aa Li HF A99 Lg Fee. Ame Lin

io de orrts) LL (a) CR SL“ Lin —= Ami 7 A,ml2 Tes Gn,m Em)

h=m A NES DD A RTS ECS Née Ù ani h,je h=1

Si l’on multiplie chacune des équations (2) par get que l’on substitue à gx, gX2, -.. leurs valeurs tirées des équations (r), on obtiendra un troisième système d'équations qui se déduira du système (1) en remplaçant g par g* et les quantités a; ; par

hk=m RO em RO 7m

APE CNE = 2 dh,1@ a à = D Ÿ a, 10.70, 10.ant, j

pr?