AG SN ID EST

En continuant ainsi, nous obtiendrons le système d’équations qui correspond à la puissance rième de g:

(r) (7) r') 8 Ti = Ai Ts noue Re.

Len irS (71) r) (r) Pie AE Li + 9 Lo +... + as 715 A ee 416. 5.5 01e: @ ee jo) 0 ele. ss 976 0e 00e 0 0, 16 ep che:

ñ CUT) (r) (r) £ Tm— Ai,ym Ti paie A9,m T9 He CE An, m Tm)

hO)—yn RE) — y Cd —ym (t). PMP) ÉEMNNC PNER Le SE di » y Het DEAOPOPCE . SANT

RC) 20) —1 RCI —:

re D ar).

Ma hi à

Si l’on multiplie les équations du système (7) par g”’ et qu'on substitue, dans les seconds membres, les valeurs de g'x;, gx, ..., tirées du système d’équaüons (7°), le résultat obtenu devra être identique avec le système d'équations (r +7’), et l’on aura, en consé-

quence, He un at, apr i Roi?

SECTION II. — CHAPITRE IV. 583 ou, en écrivant g et r — 4, au lieu de r et 7",

h=m (re (ae (41

(3) AN Te

h=A Cette équation (3) subsistera pour toutes les valeurs de 4 moindres que 7°, savoir, 1, 2, ...,r—1; dans le cas des valeurs extrêmes, on doit supposer

(4) a D f — ii, je L’équation (3) subsistera même pour les valeurs 4 = 0, g =7r, si l’on convient de faire

ART. a (5) ai; —

il QUANd 7:

0, quand À et j sont inégaux,

Cela posé, revenons à l'équation l — 0; le premier membre F est ce que devient le déterminant

) MIN fie Te 47,2

lorsqu'on diminue de g chacune des m quantités

di,1 3,99 CD'ECN) Am,m:

On aura donc Dr — Per (a: ne 3,9 note Re pis RTS 9

et, par suite, la somme s, des racines de l'équation T = o sera

Si = $' + Le +, + Lm DT

En appliquant le même raisonnement au système d'é-

quations (r) qui conduit à une équation du degré 77 en g”, nous obtiendrons

or PES = 8 Pare ten da

ou, à cause de l'équation (3),

m } A (6) s, 2 an) a,

g ayant une valeur quelconque de zéro à r.

Soit maintenant, comme au n° 257,

d’après l’équation (6), les quantités dont se compose ce déterminant peuvent être représentées de la manière suivante :

(o) (0) (0) ais at) avt) FENTE AE = Ÿ a a PSE D. ii (12/0) (1) a dE. (1) (b—1), % je = ya Pre = Ÿ af!) af % vos * D re a?

JA 1, 1 . e . 0 06080 0 20e » © + © © © + © © © © ee © © © © © « sers lee) 29702

er1) ai EU LE (eu), ne DRE D

les sommes se rapportant à toutes les valeurs 1, 2, ..., m

kw ?

des indices à et j. D’après cela, si l’on fait nf; 2) TETE

sa ) DEL

Pr == 20 0 Aj,1e Au, m1 ?

et, en appliquant aux rn? quantités

Fi PSS PA CUIR OP cr 2 »] L,J LU AE ]

le théorème du n° 244 (CorozLaire), on mettra p, sous la forme

(0). at) (2) (u—1) (nr SD AA D Ginje ee fn 4) j(u1) | :

PR 1j... ut Ur représentant LSysStèmes quelconques de deux indices 1, j et la somme œ

se rapportant à toutes les combinaisons u à m des m? systèmes 1, 7.

La formule (7) montre que chacune des quantités p, est une somme de carrés. Ces quantités sont donc toutes positives ; il en résulte, comme on l’a vu au n° 257, que l'équation F — o a ses m racines réelles.

Méthode de M. Hermite pour déterminer le nombre des racines réelles d'une équation qui sont comprises entre deux limites données.

259. Nous nous proposons d'exposer ici une méthode extrêmement remarquable de M. Hermite pour déterminer le nombre des racines réelles d’une équation, comprises entre deux limites données. Cette méthode

586 COURS D'ALGÈEBRE SUPÉRIEURE.

repose sur les propriétés des fonctions homogènes du deuxième degré qui ont été établies dans ce Chapitre. Soient

(x) Az =i0 une équation du degré m à coefficients réels, et

C0, CR TT ses m racines.

Désignons par t une indéterminée et considérons la fonction homogène du deuxième degré

(ro + ax + ar; +... + air, 1)

PRE à ro + das + lire +... + Pr 1h

des m variables xs, æ4, ..., Xm 1. Il est évident que f est une fonction symétrique rationnelle des racines de l'équation (1); on pourra donc l’exprimer rationnellement par les coefficients de cette équation, et comme ces coefficients sont supposés réels, la fonction f sera également réelle, pourvu qu’on attribue à l’indéterminée t des valeurs réelles. Au reste, on peut calculer trèssimplement les coefficients à; ; de la fonction f ramenée à la forme

(3) J = Ÿ Ai, j Ti je i—0 j=0

On a effectivement a+} bi+j li+i

(4) HIT CTI pre COTES

or, si l’on décompose la fraction rationnelle IF (6) F(e) en fractions simples, on trouvera ee pren li+i a pi LH F{4) (e) t— a EAP DS ALERTE

E (t) étant le quotient entier de la division de &+/F(5) par F(t); donc, si l’on désigne par F; ;(t) le reste de cette division, on aura

F;, ( t) a+} bi+j ati

F{c) DE NET Te Grer:

et, par suite,

i=m—AÀ j=m—i

: Désignons par À», l’invariant de f; d’après ce qu'on a vu au n° 247, cet invariant sera égal au produit de

ASE

par le carré du déterminant

FRA 0 enr Mie ae opt rl

S. © © « © © © 0 0 € se + «à © e © |

lequel est égal (n° 239) à fa—b)(a—c).,.(a—1)(b—c)...f(x— 1); on a donc

(a da — (a — D4(— ci. (8 — 0, (a=)(o ie (he) ?

(6) ni —

ce qui montre que l’invariant de f ne sera jamais nul si l'équation proposée n’a pas de racines égales.

On peut encore tirer l’expression de A,,, d’une autre considération qui fournit en même temps l’invariant

de la fonction à laquelle se réduit J, quand on y suppose nulles lesu—1 variables

mis m9 1. Tm—p+1°

La fonction dont il s’agit sera donnée par la formule (3), si l’on suppose que les indices i et j ne varient que de zéro à m—w; la formule (4) donnera les coefficients a;,;, et, comme elle peut s’écrire A bi Li

+ bi pra

a : . — qi ‘M PRE 7, te: er

linvariant À,,, sera égal (n° 244) à la somme des produits obtenus en multipliant l’un par l’autre les déterminants formés respectivement avec M2—j4 + I COlonnes verticales des tableaux dont les lignes horizontales sont représentées généialement par

ai, ON EUTI et

. | EMA OQULIX at bob —"1t js

chacun des indices ? et j ayant les valeurs o, 1, 2, m — 1. Si l’on suppose que ies racines

GSDIER EU Eh

soient au nombre de m— y +1, le premier des déterminants dont il s’agit sera égal à

E{(a—bj(a—c) ….(a— 4) (b—ec)...(b— 2) (gt

et le second sera égal au quotient de la même expression

par (a—t)(b—t)...(4—0);

on aura donc

(a — b) HEsyr D /1 ..(g— Ah}?

(7) an Ÿ Er ENT ( (£ Le

le signe Ÿ se rapportant à toutes les combinaisons Lcd

m— pu + 1 à m—yu+1 des m racines a, b, c, …., L. Enfin, si l’on suppose que toutes les variables de fs’an-

nulent à l'exception de x,, et qu’on désigne par A, le

coefficient du carré de la variable restante, on aura

(8) Ao =Y ——.

La fonction f'étant réelle, elle peut être ramenée, comme

nous l’avons vu, par une substitution réelle, à la forme

A A AS DER CL CRREX AP + Xi.

F A0 A; m—2 260. Cela posé, nous démontrerons, d’après M. Hermite, le théorème suivant :

Tuéorime. — Ætant donnée l'équation F(z) = 0 du degré m, à coefficients réels et dont les racines supposées inégales sont a, b, c, ..., L, soit la fonction homo-

gène réelle

re ro Ha Æ de +. Han pre + EN le a — ;

Gr) “ce ANA = (ro + bas + br HA rires) M ere mule tete miv 6 los ea tele ei Sera ue . + (ro + das + Pan ee Pam

des m variables xo, x, ..…., Xm, et dans laquelle t designe une indéterminée réelle; si, par une substitution réelle, on ramène la fonction f à une somme de carrés de fonctions linéaires réelles, le nombre des carrés affectés de coefficients positifs sera égal au nombre des couples de racines imaginaires de l'équation F(z:)= 0, augmenté du nombre des racines réelles supérieures à t.

D'après ce qu’on a vu au n° 259, l’invariant de la fonction f n’est pas nul, et si l’on désigne par X5, X4, .…, X»1 m nouvelles variables, les équations

6 Se ax; Fr GE RG ET 1 Es Lm—A1 — D, v+ (2) | T9 ue bx; + b?zx;, D CS AC DE — X4, { 20 Elri le Hs UP ER,

pourront être résolues par rapport aux variables x; en substituant ces valeurs, l'expression de f deviendra

(3) f=—— x + —— Xi Fe Ki

Si toutes les racines a, b, c, ..., l'sont réelles, la substitution (2) sera également réelle, et l’on voit que, dans la formule (3), le nombre des carrés affectés de coeffcients positifs est précisément égal au nombre des racines qui sont plus grandes que t. D'ailleurs, toute autre substitution, réduisant f à une somme de carrés, donnera le même nombre de coefficients positifs (n° 254); done le théorème énoncé se trouve établi, dans le cas où les racines a, b, ..., [ sont toutes réelles.

S1 les racines a, b, c, ..., Îne sont pas toutes réelles, la substitution (2) ne sera plus réelle, mais il est facile d’en déduire une autre qui le soit; car, supposons que a et b forment un couple de racines imaginaires conju-

SECTION II. — CHAPITRE IV. 901 guées, et que l’on ait a —r(cosa + ÿ—1 sinc), b=—r(cosx — V—1 sin æ ) ; aux indéterminées X, et X, substituons-en deux autres Yo, YA telles que Xo—=Yo+ Yi ÿ—1, NA = Vi

Il est évident que les deux premières des équations e) seront équivalentes aux deux suivantes :

Lo+ rt COSa + 7? COS 20 +... +7 lire cOS(m—1)x— Y,,

rt sina+rrsin2a+...+r "le, sin(m—1)e«—Y;, lesquelles ne renferment que des quantités réelles. On opérera de la même manière pour chaque couple de ra-

cines imaginaires, et 1l est évident que la substitution (2) deviendra réelle par le simple changement de X,, X,, …, en Vi, ver, ne = Yr, (ve tone

Les deux racines imaginaires conjuguées a et b donneront dans f la partie

ANNEE (Yo —Y:ÿ— 1);