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l’indéterminée t étant réelle, posons

= ; — pb (cos® +yÿ—1sm#), FRE —p(cosy—Y—1sine),

la partie de f que nous considérons deviendra LE MEANS ya ren

p COST PV sm” D HE À Vi "AN g RAR | en + 6 | (cos + V—sinŸ) SES 4 V1) :

ou bien

Co)

2 2 2p (Yocos ? — Y,sin :) — 2e (vsin - + Y, cos? ) »

ce qui montre que, par notre substitution, deux racines imaginaires conjuguées introduisent dans f deux. carrés dont l’un est affecté d’un coefficient positif et l’autre d’un coefficient négatif.

On peut donc conclure que toute substitution réelle qui ramènera f à une somme de carrés de fonctions réelles introduira autant de carrés affectés de coefficlients positifs qu'il y a d’unités dans le nombre des racines imaginaires de l'équation F(z) = o, augmenté du nombre des racines réelles supérieures à 1; ce qui est précisément le théorème énoncé.

CorozLaire. — Si l’on désigne par (t) le nombre total des carrés affectés de coefficients positifs dans la fonction f, lenombre des racines de l’équation F(z)=0 comprises entre deux nombres donnés to et ty > to sera égal à (to) —(t4).

Car, si l’on désigne par N, le nombre des racines supérieures à t,, par N; le nombre de celles qui sont supérieures à £,, et par 21 le nombre des racines imaginaires, on aura, par le théorème précédent,

(AIN TL (a) = No + I, d’où (t)—(4)= No — Ni:

261. Le théorème de Sturm peut être regardé comme un corollaire du précédent théorème. En effet, les quantités À, À, .…, Am 1 étant définies comme au n° 259, la fonction f peut être mise sous la forme

À À Dee ca x Re ER er.

le nombre désigné par (t) exprime donc combien il ya

de quantités positives dans la suite A; an À An