VV SNS REG EEN

On conclut de là que le nombre des variations perdues par la suite précédente, quand on passe de 41=t, à t=t, > to, est égal au nombre des racines de l’équation V — 0, qui sont comprises entre {4 et {,, ce qui est précisément le théorème de Sturm. La démonstration nouvelle de ce célèbre théorème est bien remarquable, car on n’y emploie, comme le remarque M. Hermute,

aucune considération de continuité.

262. J'arrive maintenant à la méthode pratique donnée par M. Hermite pour déterminer le nombre représenté par le symbole (t). D'après ce qui précède, il suffira, pour remplir cet objet, de ramener à une somme de carrés, par une substitution réelle quelconque, la fonction désignée par f et que nous savons former.

S. — Alg. sup., L 33

594 COURS D’ALGEBRE SUPÉRIEURE Soient, comme précédemment, AUDE CECI les m racines de l'équation proposée (1) F(z)= 2" + pirt ip. pr ph = si l’on fait, pour abréger, p(z)= ro +za Her +. Hz ir, ss

l'expression de la fonction f sera

- g'(a) , #(b) g° (4) (2) PP a Par QUE pr Désignons par Xo, X:, ses) DEA

de nouvelles indéterminées, et posons D{z) = Xo + 2X, + z Xe +... Hz IX.

Nous ferons en premier lieu la substitution propre à rendre identique, relativement à l’indéterminée z, l'équation

p(z)=(z—t)2(3) — XhF(2);

en égalant entre eux les coefficients des mêmes puissances de z, on formerait les équations nécessaires pour exprimer les variables x en fonction des variables X. Mais ce calcul ne nous est pas utile, et il suffit de remarquer qu’en remplaçant z par chacune des racines a, b, ..., [, l'équation précédente nous donne

p(a) —(a—t)d{a), p(b)—(b —t)®(b), se: p(1) —(1—1)@(7). La fonction f, définie par l'équation (2), se changera dès lors en une fonction $ des nouvelles variables, et l’on aura

(3) F—(a— rt) &(a)+(0— 6 &(6) +... +(2—+) 21)

Cette première transformation étant effectuée, nous en ferons une seconde, définie par les équations suivantes, OÙ Zo Z4 +. 2m désignent les nouvelles variables :

Mg Zym—1 À Pi 2m + Pa 2m—3s Fees + Pm—1 20

= 2m—e + Pr ms Fe. + Pme 209

Le

Zm—3 2% Pi Zyn—4 tive + Pn—3 20».

Con FO SX TT VE - PC D CC CV SC OL ZA DCS CR ACER CEA PNR NCA) ICE Xyn=2 — 2: + Pi Z0»

>, — Zo:.

Le quotient de F{z) par z — a est évidemment

gm—1 Pi zm—2 + Po a Ar + Prn1 20 + 4 + Pia + Pine 4 + a° Dis ete annee à ere 4 par a”—1 |

et si l’on remplace, dans cette expression, les exposants de z par des indices de même valeur, on obtiendra, d’après les formules (4), le résultat suivant :

X,+aX+aXi+...+an—iX,,;, c’est-à-dire Ÿ («). D’après cela, on peut écrire

ot) =2E, 6(6= 24