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BA. approche moins de x que la réduite —:+
sex A nm
NS 3 4 ° P 8, ProsrÈme. — Ziani donnée une fraction — dont
LT
: , +. 0 la différence avec une quantité quelconque x est + —,
0 étant plus petit que l'unité, on demande la condition
P . , n . . , SLR (RES soit l’une des réduites fournies par le déve-
loppement de x en fraction continue.
# » P e ) ’ Réduisons G en fraction continue et. formons les ré-
. P P . A P duites —!, —?,..., 7 dont la dernière n’est autre que —.
Q: Q: Qx
Si cette fraction est l’une des réduites fournies par le
développement de x, et que l’on désigne par x, le (n + 1) quotient complet, on aura
| P, ln se P, ARC P, ( rar À ( a) = — , d’où A | QuTrr+ Qz1 Q» Q» (Q:z, + 02)
ro IL faut remarquer que l’on peut toujours s’arranger de manière que le signe du second membre de cette formule soit le même que celui de la différence donnée ni 0
En
; ; WP ; : P unue égale à Re peut toujours faire en sorte que —"
+ En d’autres termes, dans la fraction con-
ou — soit à volonté une réduite de rang impair ou de rang pair. En effet, soient a;2, a,, les deux derniers
quotients incomplets de la fraction continue égale à c: d’après la manière dont on opère habituellement, le dernier quotient n’est pas égal à 1, car, si cela avait lieu, on pourrait supprimer ce quolient en augmentant d’une unité le quotient précédent quideviendraitalors a; »+1. Donc, puisque a,, est au moins égal à 2, on peut le
I À . , remplacer par (ax; —1)+-, c'est-à-dire qu'on peut
introduire un quotient de plus égal à 1, en ayant som de retrancher une unité du quotient qui était le dernier. On peut donc faire en sorte que le nombre 7, qui in-
: RQ RE P + Here dique le rang de la réduite * — —, soit à volonté pair ou Im
impair ; ce nombre 7 étant ainsi choisi de manière que le
. e . Lé 4 # () signe de (— 1)*#+! soit celui de la différence donnée + —;
on aura
(2) EN mme NN | dou 10 + —————— 0
Q, (07 GE QE ) n QuEn NE Qh-1
Or x, est positif et supérieur à 1 : donc on a
Q% 4 PRET (8) oo
Je dis que réciproquement, si cette condition est satis-
faite, la fraction G sera l’une des réduites de x. En effet,
Tr étant alors définie par la formule (1), l’équation (2) donnera pour cette quantité une valeur positive et supérieure à l’unité; d’ailleurs, d’après la formule (1) la valeur de x sera évidemment de la forme
LG ———————————— ——— C4 An Pa D I LJ + HO FRE An er A EP : k P ne L d’où ii résulte que la fraction Q est l’une des réduites qui
convergent vers x.
Il faut remarquer que la condition (3) sera toujours
Qn Q» re Qui
; P ; l : donc la fraction — sera nécessaire-
L] . L] L1 ny L2 \ I .
satisfaite s1 0 est inférieur à —, car le rapport
est supérieur à
Dim
ment l’une des réduites de la quantité x si la différence
P Ko x — — est, en valeur absolue inférieure à
Des fractions convergentes intermédiaires.
9. On a vu que les réduites de rang pair et celles de rang impair forment deux suites qui sont l’une croissante, l’autre décroissante, et qui convergent toutes les deux vers la valeur de la fraction continue. Considérons deux réduites consécutives
Pr n Ph+1 Qu: Qu+1
de l’une ou de l’autre des deux suites, le nombre 7 pou-
vant être égal à r. Si a, désigne le quotient incomplet de rang 7 + 1, les valeurs de ces deux réduites seront comprises dans l’expression générale
