AP, + P,

kQ;+ Qh1

et elles répondront aux valeurs k=—0, k— u, de 1'indéterminée k.

Lorsque le quotient 4, est supérieur à 1, et que l’on donne à k les valeurs successives

DR Ua Ali td.

l'expression précédente fournit, indépendamment des deux réduites considérées, a, — 1 autres fractions dont les dénominateurs sont compris entre Q,, et Q,,, et auxquelles on a donné le nom de fractions convergentes intermédiaires.

Si l’on pose, pour abréger l'écriture,

11 4 de AP,+P,:, Dé kQ, + Qr—19

on aura

Ryu—=R;+Pl,, Sn —S;+ Q;5 d'où

RuiSe— San PS Quel Qui— QuPn-s ou

RgiSz— SppiRz=(—i)", P,Sx— QRy= (— 1) et, par conséquent,

R y. Li R}. ais Ver 1% P, Rz a. À Cat

S +1 Sx Ho SeSxra Q» Sz st Q»Sy é Ces formules sont analogues à celles qui se rapportent à deux réduites consécutives quelconques, et l’on peut en conclure les propositions suivantes :

1° Les fractions convergentes intermédiaires, formées comme il a été indiqué, sont des fractions irréductibles.

29 La différence de deux fractions convergentes intermédiaires consécutives est égale à l'unité divisée par le produit des dénominateurs des deux fractions.

3° St l’on considère la suite des réduites de rang pair et celle des réduites de rang impair, puis qu'entre chaque réduite de l’une et de l’autre suite et La réduite suivante on écrive toutes les fractions convergentes intermédiaires qui s'y rapportent, de telle manière que les déenominateurs forment une suite croissante, on obtiendra deux nouvelles suites qui seront, la première croissante, la seconde décroissante, et qui, en conséquence, convergeront sans cesse, l’une et l’autre vers la valeur de la fraction continue.

é “Sn iA L .

4° Stune fraction z St compriseentre deux fractions

; PERS R; Ry convert gentes CONSECULIVES —» ° appartenant au SAS L P 27 P groupe dont les réduites = et =2# sont lestermes ex-

LÉ) n-+1