FRE

expression de laquelle ont disparu les racines a, b, c, .…. Donc, pour avoir le nombre représenté par (4), il sufira de mettre le second membre de l’équation (5), sous

‘la forme d’un polynôme ordonné par rapport aux puis-

cils

sances de z et de 7. On remplacera ensuite chaque puissance zt ou z' par z; et l’on obtiendra la fonction homogène #, qu’on ramènera à une somme de carrés par la méthode connue; le nombre de carrés affectés de coefficients positifs sera précisément (4).

Lorsqu'on veut avoir le nombre des racines de l’équaüon F(z) = 0 comprises entre deux limites £,, t, données numériquement, 1l conviendra le plus souvent, pour obtenir les nombres(t,)et(t,), d'opérer surlesexpressions

dont les coefficients sont tous numériques, et non pas sur l'expression générale qui contient l’indéterminée t.

EXEMPLE. — Supposons qu’on demande le nombre des racines de l’équation

qui sont comprises entre o et 1.

On a, dans ce cas, en faisant abstraction du facteur 3,

CE ml

et cette formule symbolique donne la formule exacte DSP VIRE ERRET EE PERTE ANT + (25 — 25 — 223022 + 4z122).

S1 l’on fait successivement t — 0, t—1, on obtient les deux fonctions homogènes

598 COURS D'AILGÈEBRE SUPÉRIEURE.

Il y a deux carrés affectés de coefficients positifs, dans la première de ces fonctions, tandis qu’il n’y en a aucun dans la seconde; donc l’équation proposée a deux racines comprises entre o et 1.

On doit remarquer aussi que, si l’on donne à t une valeur positive infiniment grande, la fonction $ divisée par t se réduira au polynôme

lequel peut être mis sous la forme

I 2 2 2 — (2 — 22) — 2 Ur 0 FU 4

Comme on n'obtient, dans ce cas, aucun carré affecté de coefficient positif, le nombre des racines supérieures à l'infini, augmenté du nombre des couples de racines imaginaires, se réduit à zéro. On peut donc reconnaître, par ce simple calcul, que l'équation proposée a toutes ses racines réelles,

ne