Cas pe peux ÉQuATroNS. — Soient deux équations

fix r)=0, F(xy)=o,

entre les deux inconnues x et y, et

(als re ….) Les

les systèmes de solutions communes à ces deux équations. On nomme fonction symétrique de ces solutions communes toute fonction qui ne change pas de valeur quand on y permute les groupes (x, y1), (X2Y2), + -., les uns dans les autres; nous considérerons seulement les fonctions symétriques rationnelles. Une fonction de cette espèce est toujours exprimable rationnellement par les coefficients des équations proposées.

Par un raisonnement tout semblable à celui que nous avons fait au sujet des fonctions symétriques des racines d’une équation à une inconnue, on fera voir que la détermination d’une fonction rationnelle et symétrique des solutions (x,74), (X2Y2), ... se ramène à celle de fonctions symétriques entières, homogènes, et dont les différents termes se déduisent les uns des autres, en changeant les indices des lettres x et y, mais sans changer leurs exposants. Les fonctions symétriques auxquelles on est ainsi ramené seront dites sémples ou du premier ordre, doubles ou du deuxième ordre, etc., suivant que chacun de leurs termes contiendra les lettres d’un, de deux, etc., groupes (xyY1), (XaYa), .... La forme cénérale des fonctions simples sera

DRE 2 DE PRET Xi + ay: te €) n°

P où q pouvant être nul. Nous représenterons une pa-

reille fonction par Ÿ æ° 71. La forme des fonctions doubles sera

WIR g' P,.9 DA 4 DRE GE + ZT AP Yi + :

1) 3%a Je Lada tirs (CR

SECTION II. — CHAPITRE V. Got

nous la représenterons par Ÿ F1 2h el dinsi dé Le PS suite.

Voici la méthode donnée par Poisson pour calculer la

. + eo, ) fonction simple Ÿ CAE ÿS

Désignons par £ une nouvelle variable, par & une indéterminée, et posons

tn LA EOU rt —x7y;

en substituant cette valeur de x dans les équations proposées, celles-ci deviennent

flt—ay;7y)=0, F{t—ay,7)—=0, et, en éliminant y, on a une équation finale en £,

gr a) =,

qui contient dans ses différents termes l’indéterminée «. Cette équation en £ a pour racines

M HAVis La HAVa ce, En + AŸns

et elle est, par conséquent, du degré nr. D'ailleurs, la somme des puissances semblables de degré u des racines de l'équation en t peut s'exprimer rationnellement (n° 171) par les coefficients de cette équation, c’està-dire en fonction de « et des coefficients des équations proposées. On aura donc

(æ: —- ay } + (a —- aVa) +. + + (zy + aYn )* A, +A,au+ Asu+ ..,

formule où A4, AÀ,, ... désignent des quantités connues et exprimées rationnellement par les coefficients des équations proposées. Cette équation ayant lieu quel que soit «, les coeflicients des mêmes puissances de «

% - . - , LÉ e s = # - « LC).

doivent être égaux dans les deux membres, et il en résulte cette suite d’égalités :

pe

2 Ha +. ..+a hr

1 Re LE 14 = (+ PE me Ya 2 EP NS

qui feront connaître les fonctions simples JE de degré p + g =.

Le calcul des fonctions doubles, triples, etc., peut être exécuté de la même manière que dans le cas des fonctions symétriques ordinaires. Par exemple, pour avoir la fonc-

tion double Ÿ x yTxl y; on multipliera ensemble les

deux fonctions simples Ÿ Re a art : le produit

. . ! L se composera de la fonction simple Ÿ rer SÉAROUENE

la fonction double qu’on veut trouver. On aura donc

D P,,9 .P ED P D p' D) p+p',9+q".

CURE A er li Ji Æ J' Æ Ji

Seulement il ne faudrait prendre que la moitié de cette valeur, si l’on avait à la fois p = p, g'= gq.

Les fonctions triples, etc., se calculeront d’une manière analogue.

Ce qui précède suffit pour établir, comme nous l’avions annoncé, que les fonctions symétriques et rationnelles des solutions communes à deux équations peuvent s’exprimer rationnellement par les coeflicients de ces équa-

Dire,» .

tions, et l’on voit que leur détermination exige seulement l'élimination d’une inconnue entre deux équations.

265. Cas D'UN NOMBRE QUELCONQUE D'ÉQUATIONS. — La même méthode s'applique à un nombre quelconque d'équations. Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de trois équations à trois inconnues

DT 4) 0, He 70: pi2, 0) 2/0, et soient bep, z1)s (æ2, Ja Z2 ) ….s (res Zn)

les systèmes de solutions communes à ces trois équations. Conservant la classification que nous avons adoptée des diverses fonctions symétriques, la forme générale des fonctions simples sera

LT EPS podeor phare Ti 2 Din AUS mL z, Horn, 3

celle des fonctions doubles sera

DT OR De dt. €, TL, Vi ml Vo 29 Tres et ainsi de suite. Et c’est à la détermination des premières que se ramène celle de toute fonction symétrique et rationnelle.

Désignant par t une nouvelle variable, par & ct 6

deux indéterminées, nous poserons

l— XP ay +62, : d'où zx —:1t

ay — 62

Âyant substitué cette valeur de x dans les équations proposées, nous éliminerons y et z; nous obtiendrons ainsi une équation finale en t,

ÿ(e, Fa GPO

contenant les indéterminées æ et 6, et dont les racines seront

A 1 22 T; te aYi — 0Z:, Lo + AVa + 62e, .…., nt (e 24] n — 02

La somme des puissances uitm®% de ces racines pourra s'exprimer rationnellement par les coefficients de l’équation en t, c’est-à-dire en fonction des indéterminées x et 6 el des coefficients des équations proposées. On aura ainsi une équation de la forme

> (as +ays + Sn j=Y A y,r 7.67,

où le coefficient À, , désigne généralement une quantité connue. Le signe sommatoire 2 du premier membre s'étend aux 7 racines de l'équation en £, celui du second membre à toutes les valeurs de g et de r, telles que

JET OULENU

En posant p —u—4—7r, et égalant les coefficients de «4 6" dans les deux membres, on aura

D 210 CU hr dr | (U:24 p})( NE .q) (1 jte D z, — À y,r3

c'est la formule qui fera connaître les fonctions simples.

Pour former les fonctions doubles, triples, etc., on procédera comme dans le cas des deux équations. La forme du calcul est la même, et l’on voit qu’en général les fonctions symétriques et rationnelles des solutions communes à plusieurs équations s’exprimeront toujours rationnellement par les coefficients de ces équations.

IL faut remarquer que la détermination des fonctions symétriques des solutions communes à trois équations exige l'élimination de deux inconnues entre trois équations, et généralement la détermination des fonctions

M détecte it este à tftes À pu. sé bé

hs. le Zn, ds mt re ph de

symétriques des solutions communes à # équations exige l'élimination de À — r inconnues entre k équations.

Extension de la méthode d'élimination par les fonctions symétriques, au cas d'un nombre quelconque d'équations.

266. La méthode que nous allons exposer, d’après Poisson, donne le moyen d'éliminer À — 1 inconnues entre # équations, lorsqu'on sait éliminer # — 2 inconnues entre À — 1 équations, et, par conséquent, cette méthode ramène tous les cas, en dernière analyse, à l’élimination d’une inconnue entre deux équations.

Pour fixer les idées, nous considérerons quatre équaüons seulement, entre quatre ou un plus grand nombre d'inconnues ; mais on verra sans peine que notre raisonnement est général et qu'il s’appliquerait sans modifieation au cas d’un nombre quelconque d'équations.

Soient donc les quatre équations

PEL HAT oU 0 Fr =" O, s 7 ee BC, ete

TL, Vs 2 U,

entre quatre ou un . ee nombre d’inconnues +, y, z,u, .., etproposons-nous d'éliminer trois inconnues, x, Y, 3 par exemple, entre ces équations.

Considérons en particulier les trois premières des équations (1),

NAN Y, Z, U, + PRES Ars en oh DANS IANUL cu oeries

et, en regardant x, y, z comme fonction des autres va-

606 COURS D'ALGÈBRE SUPÉRIEURE riables, u, ..., désignons par (æ, J'12 z) (x, J'2 22), or, (a Frs Zn)

les 7 systèmes de solutions communes aux équations (2).

Cela posé, remplaçons (x, y, z), dans la quatrième des équations (1), successivement par chacun de ces n systèmes, et désignons par V le produit des résultats ainsi obtenus, en sorte qu’on ait

(3) V—=d{zi, Yi 214,2.) DTe, Vars LOT Mn 2e ls l'équation (4) V—o

sera l'équation finale résultant de l'élimination de x, y et z entre les équations (1), car cette équation (4) exprime la condition nécessaire et suffisante pour que les équations (1) admettent un système (x, y, z) de solutions communes. D'ailleurs V est une fonction symétrique et entière des solutions communes aux équations (2); on pourra donc l’exprimer rationnellement par les quanütés indépendantes de x, y, z qui entrent dans les équauons (1). Pour cela, désignant, comme précédemment, par t une nouvelle variable, par « et 6 deux paramètres indéterminés, nous poserons

t—r+ay +62, doù x—t—xy—63;

en substituant cette valeur de x dans les équations (2), on aura les trois suivantes :

f(t— ay —6z,7,2, u,..) Cor} Fi£— oy — 62, y,2,u, )

O, 0, RUE Vu |,

plf— ay —62,7,z,u

entre lesquelles il faudra éliminer y etz. C’est donc à l'élimination de deux inconnues entre trois équations

que nous ramenons l'élimination de trois inconnues entre quatre équations. L’équation finale en £ qui résulte de l'élimination de y et de z entre les équations (5) aura pour racines

Xi + aY1 +62, La + A Ye + 629 .., Tn FEYn+O%n,

et son degré sera égal à 7. Supposons cette équation formée, et ordonnons-la par rapport à t; elle sera

(6) EE pi LE pa + + pr lt + Pr =0,

Pis Pas --. étant des fonctions rationnelles de u, ..., qui contiennent aussi les paramètres & et 6. Cette équation (6) servira, comme nous l’avons vu précédemment, à calculer les diverses fonctions symétriques des solutions communes aux équations (2), dont l'expression de V est composée, et le problème sera enfin résolu.

Cette méthode conduit, dans les applications, à des calculs d’une longueur rebutante; mais nous allons en conclure aisément une démonstration nouvelle du théorème de Bézout, relatif au degré de l’équation finale, ce qui est l’objet principal que nous avions en vue.

Théorème de Bézout sur le degré de l’équation finale.

267. D’après ce qui précède, nr étant le nombre des solutions communes (x, y, z) aux équations (2), on obtiendra une équation finale du même degré 7 en éliminant deux inconnues quelconques entre les équations (2). Cela est d’ailleurs évident à priori, car, à cause de la généralité que nous supposons aux équations, tout est semblable par rapport à x, y, z, u, .... Toutefois, il est important de faire cette remarque, parce que le contraire pourrait avoir lieu si l’on attribuait aux coefficients des valeurs particulières.

Lemme, — S: n désigne le degré de l'équation finale qui résulte de l'élimination de deux inconnues entre les trois premières des équations (1) et m le degré de la quatrième équation (1), le degré de l'équation finale résultant de l'élimination de trois inconnues entre les quatre équations (1) est au plus égal à mn.

L'équation (6), qui résulte de l'élimination de y et z entre les équations (5), étant du degré n, les coefficients Pi, Pa, --. sont des fonctions entières de u, ..., dont la première est au plus du premier degré, la deuxième du deuxième degré, etc. Cela posé, la somme des puissances semblables de degré u des racines de l’équation (6),

c'est-à-dire Ÿ (X1 + ay + 67, )", peut s'exprimer sous

forme entière, en fonction des coefficients ps, pa, ..., par une formule qui est au plus du degré p par rapport à u, ...;, donc une fonction symétrique simple, telle que D z', de degré p+ q +71 —=u, s’exprimera par une formule qui sera elle-même au plus de cedegré u, par rapport à u, .... Îl résulte de là, et du mode général suivant lequel les fonctions symétriques et entières les plus compliquées se forment à l’aide des fonctions simples, que toute fonction symétrique et entière du degré y des solutions communes (x, ÿ1, 1), .-.., aux équations (2), s’exprimera par une formule entière qui sera au plus du degré p par rapport à u, .... Or chacun des termes de l’expression de V, donnée par l’équauon (3), est le produit de puissances de u, ..., dont les exposants ont une somme mn — y inférieure à mn, par une fonction symétrique et entière de degré pu des solutions communes (%4, V1, Z1), --., aux équations (2). Donc, enfin, chacune de ces parties de V s’exprimera par une formule qui sera au plus du degré mn par rapport

Le‘ Totoh à age y Te NS ES (ESS NE 2

à u, ..., et, par suite, l'équation V = o sera au plus du aegré Inn.

On pourrait faire à la démonstration précédente l’ob. jection que voici : Le raisonnement suppose que les coefficients ps, P2, ..., sont entiers par rapport aux variables u, ..., ou, en d’autres termes, que l’équaon (6), qui est du degré 7 par rapport à chacune des variables £, u, ..., est de ce même degré par rapport à toutes les variables. Or cela n’est pas tout à fait évident, quoique les équations (1) ou (5) soient supposées chacune la plus générale de son degré. Voici, ce me semble, la manière la plus simple de lever cette objection. Si quelques-uns des coefficients p,, ps, ... étaient fractionnaires, quelques-unes des racines £{ de l’équation (6) deviendraientinfinies pour certaines valeurs finies des variables u, .... Or je dis que cela ne peut avoir lieu, tant qu’on laisse indéterminés les coefficients des équations (2) ou (5), et il suffit évidemment, pour justifier cette assertion, de citer un cas où cela ne soit pas. Supposons qu’on donne aux coefficients des équations (5) des valeurs telles, que chacune, restant du même degré, se décompose en facteurs linéaires de la forme

t+ay+bz+cu+,..+l,;

on pourra exprimer chacune des racines { de l'équation finale relative à ces équations particulières, en fonction deu, .…, par les formules qui servent à la résolution des équations du premier degré; et ces valeurs de £, étant évidemment de la forme de gu+...+f, ne pourront devenir infinies pour des valeurs finies de u, ....

On déduit aisément du lemme qui précède la démonstration du théorème de Bézout.

Taéorime. — Le degré de l'équation finale qui r'e- S. — Al, sum, V 20

Giro COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

sulte de l'élimination de k — 1 inconnues entre k équations est égal au produit des degrés de ces équations.

Soient, en effet, Mi, Mo, Ma, .…. M}

les degrés des Æ équations. Le degré de l'équation finale qui résulte de l’élimination d'une inconnue entre les deux premières sera égal à m, m,, ainsi que nous l’avons établi au n° 186 : donc, d’après le lemme qui précède, si l’on élimine deux inconnues entre les trois premières équations, le degré de l’équation finale sera au plus 4 Mo X M3, OÙ My Mo M3; de même, si l’on élimine trois inconnues entre les quatre premières, le degré de l'équation finale sera au plus m4, m2 m3; X m; ou my Mams ms. Et l’on voit, en continuant ainsi, que le degré de l’équation finale qui résulte de l’élimination de k — 1 inconnues entre les £ équations sera au plus égal au produit des degrés de ces équations.

On peut ajouter que le degré de l'équation finale sera précisément égal à ce produit, si les équations proposées sont chacune la plus générale de son degré, comme nous l'avons supposé. On s’en assure aisément en considérant un système de Æ équations décomposables chacune en facteurs linéaires, ainsi que nous l’avons déjà fait ES a eh 97 à

Développement d'une fonction algébrique implicite en série ordonnée suivant Les puissances décroissantes

de sa variable.

268. Lesrecherches que je vais exposer ici font partie d'un Mémoire sur l’élimination, publié par Liouville dans le tome VI du Journal de Mathématiques.

SECTION II, — CHAPITRE Ve Gr Soit (1) Mir Tr) = 0mouaM='0o une équation du degré m entre deux variables x eue S1 cette équation est du degré m par rapport à y, elle aura mn racines y, qui seront fonctions de x, et que nous nous proposons de développer suivant les puissances dé-

croissantes de x. En réunissant les termes de même degré, l'équation (1) pourra s’écrire de la manière suivante :

der (2) rt fe (2) + rm fa (2) 4 ne 01

ou, en posant = U, À TL

(3) am f{u)+ ati fu) + x" 2f(u)+...=0o;

fs frs fa +. désignent ici des polynômes dont le premier est du degré m; les autres sont au plus des degrés m—1,m—2,..., respectivement. Dans le cas le plus général, ces polynômes sont précisément des degrés m, Ill, M——2, ....

Les m valeurs de uw fournies par léquation (3) sont des fonctions de x qui, pour x = « , se réduiront aux mn

racines de l'équation

(4) f(a)=0; on pourra donc poser généralement y (5) He tTECUE,

? Li * e s’'annulant avec -: Nous nous bornerons au cas où les ce 4

racines de l’équation (4) sont inégales, et, dans tout ce qui suit, cette hypothèse doit être maintenue. Portons dans l'équation (3) la valeur de u tirée de (5); on aura

(6) zf(a+e)+a mi fi (a + €) + affa + 6) +... 0.

612 COURS D'ALGÈEBRE SUPÉRIEURE.

Développant chaque terme par la formule de Taylor, ayant égard à l'équation (4), et divisant par x”71, il vient

er) fa) +A(e)]

( rc (7) | Sd: x pra) + (ex) fi(&) + fo | +... 0;

faisons maintenant x — © dans cette équation, et désignant par & la limite de ex, il vient

(8) a fa) + A (a) = 0, d’où

Aa a Tr)

Cette valeur de & sera toujours finie, car, par hypothèse, l'équation f (a) — o n’a pas de racines égales.

Puisque ex a pour limite la quantité &/, dont nous venons de trouver la valeur, on pourra poser

CR = DRE D d’où

(10) tr) TX 1:

I à ; e’ S’annulant avec —+ Par suite, la valeur (5) de w devient TL

/ OCE (2 € (11) U—=u+— + —e

C’est la série dans laquelle u se développe, quand on se

borne aux deux premiers termes; S est le reste correspondant.

On peut déterminer la limite du produit ex de la même manière que celle du produit ex. Si, en effet, on porte dans l'équation (7) la valeur de e, tirée de (10), qu'on multiplie ensuite par x, et qu'on ait égard à l'é-

quation (8), il vient (sr) A(e) + - f(x) + af" (œ) + fo a) | + E = 0,

en désignant par E une somme de termes qui s’annulent TRE ii avec —: faisant donc x =, et désignant par æ” la i-

mite de ex, on a Qo) ape) + te) + fe) + At) | = 0

équation qui détermine la valeur de x”.

Connaissant la limite #” du produit ex, on pourra

poser el = nie s”:

d’où

19) LE en ER

: ne Et 3 I e” étant une nouvelle quantité qui s’évanouit avec —+ D'a- FA

près cela, la valeur de (11) de u devient

! ” ai

x w4 (14) DRE (ER ce 5

c’est la série qui exprime la valeur de x quand on se

borne aux trois premiers termes ; ee est le reste corres- T

pondant.

On pourra obtenir ainsi autant de termes que l’on voudra du développement deu, et, comme y=ux, on aura, par suite, autant de termes que l’on voudra du développement de y; on a, en particulier,

| Var 1 ET, Y = 2x + a +6,

(15) | pe

Gr4 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

La deuxième de ces trois formules comprend toute la théorie des asymptotes rectilignes ; la courbe représentée par l'équation (1), où x et y désignent alors des coordonnées rectilignes, a pour asymptote réelle ou imaginaire la droite représentée par l'équation

(16) Y=ar + u,

La différence €’ qui existe entre les coordonnées de la courbe et de l’asymptote est généralement un infiniment

Fe Lee petit du premier ordre, en considérant - lui-même TL

comme un infiniment petit du premier ordre.

La courbe représentée par l'équation (1) admet aussi pour asymptote l’hyperbole que représente l'équation

(17) J=ar+a +;

- L] ’ £ mais dans ce cas la différence — desordonnées des deux Ÿ À

courbes est un infiniment petit du deuxième ordre au moins. La courbe (17) pourrait être appelée asymptote du deuxième ordre de la courbe proposée; et, comme on peut pousser aussi loin que l’on veutle développement de y en série ordonnée suivant les puissances décroissantes de x, 1l en résulte une infinité de courbes des degrés respectifs 3, 4, ..., et qui auront, avec la courbe proposée, un asymptotisme de plus en plus intime.

On voit aisément, sans qu'il soit nécessaire d’insister sur ce sujet, comment il faudrait modifier la méthode, si l'équation